W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej

Piotr Furmanek*

In search of fractal architecture’s principles

Charles Jencks, amerykański architekt i historyk archi-

tektury, znany krytyk, który jako pierwszy ogłosił upadek

modernizmu w architekturze oraz zdefiniował postmoder-

nizm, jest autorem wielu książek na temat architektury

i kultury. Jedną z ważniejszych pozycji w jego dorobku

zajmuje dzieło zatytułowane Język postmodernistycznej

architektury po raz pierwszy wydane w 1977 r. i kilkakrot-

nie w kolejnych latach wznawiane. Nas tępne wydania były

sukcesywnie uzupełniane nowymi przykładami i wzbo-

gacane błyskotliwymi komentarzami autora (w Polsce

książ k ę opublikowano w 1987 r. pod tytułem Architektura

post mo dernistyczna). Ostatnie – siódme – wydanie ukaza-

ło się w 2002 r. jako The New Paradigm in Architecture

z pod tytułem The Language of Post-Modern Architecture

(Nowy paradygmat architektury – język architektury post-

modernistycznej). Do podstawowej części dzieła dotyczą-

cej teorii postmodernizmu Jencks dodał dwa nowe rozdzia-

ły: „The New Paradigm I – Complexity Architecture”

(Nowy paradygmat I – Architektura złożoności) oraz „The

New Paradigm II – «Fractal Architecture»” (Nowy para-

dygmat II – architektura fraktalna). W rozdziałach tych

głosi narodziny nowych kierunków, twierdząc, że przy-

szłość architektury należeć będzie do fraktali, kosmosu

i form falujących. Analizując dokładniej prezentowane

przez Jencksa poglądy, daje się dostrzec pewne nieścisło-

ści w zakresie doboru przykładów ilustrujących postawio-

ne tezy. W artykule podjęto polemikę z autorem The New

Paradigm in Architecture na temat cech charakterystycz-

nych architektury fraktalnej.

* Wydział Architektury Politechniki Wrocławskiej / Faculty of

Archi tec ture, Wrocław University of Technology.

Charles Jencks, a renown American architect, histo-

rian, and architecture critic was first to announce the col-

lapse of modernism in architecture and defined postmoder-

nism, is the author of many publications on architecture

and culture. One of his major books titled The Language

of Post-Modern Architecture was first published in 1977

and several times reissued in the following years. In its

successive editions the book was completed with new

examples and brilliant comments of the author (in Poland

the book was published in 1987 titled Architektura post-

modernistyczna). Its last – seventh – edition was pub-

lished in 2002 as The New Paradigm in Architecture

sub titled The Language of Post-Modern Architecture

Jencks added two new chapters to the main part of the

book regarding the theory of postmodernism: “The New

Paradigm I – Complexity Architecture” and “The New

Paradigm II – ‘Fractal Architecture’ ”. In those chapters,

he proclaims the birth of new directions, claiming that the

future of architecture will belong to fractals, universe, and

undulating forms. When analyzing in detail the ideas pre-

sented by Jencks, one can notice certain inconsistencies in

respect of selection of examples illustrating the proposed

theses. This paper is a polemic with the author of The New

Paradigm in Architecture on characteristic features of

frac tal architecture.

One of the objects mentioned by Jencks in the chapter

titled “Fractal Architecture” is the Eurythmics Sport Center

in Alicante. This is one of the projects designed by a tan-

dem of architects Enric Miralles and Carme Pinos. Jencks

reads the photo-collage method developed by David

Hockney, consisting in photographing an object from dif-

ferent angles and putting them together into one composi-

tion, into the idea of development of the Center: This form

2013

1(33)

DOI: 10.5277/arc130106

64 Piotr Furmanek

W rozdziale zatytułowanym „Fractal Architecture”

jednym z obiektów wymienianych przez Jencksa jest cen-

trum baletowe Eurythmics Sport Center w Alicante. Jest

jeden z projektów tandemu architektonicznego Enric

Miralles i Carme Pinos. W idei tworzenia Centrum Jencks

doszukuje się metody foto-collage’u wynalezionej przez

Davida Hockneya, polegającej na fotografowaniu obiektu

z różnych ujęć i zestawianiu ich w całość w jednej kom-

pozycji: Ta forma foto-kubizmu odkrywa fraktalną toż-

samość dzieła, falujące formy są samopodobne, ale nie

samopowtarzalne

[2, s. 235].

Pisząc o falujących formach,

Jencks zapewne ma na myśli konstrukcję wsporczą dachu

centrum baletowego w formie kratownic przypominają-

cych konstrukcję mostu lub – według Jencksa – wars t wo-

we przekroje pofałdowanego terenu. Nie re gularne kształ-

ty kratownic mogą stanowić reminiscencję konturów gór-

skich szczytów obecnych w krajobrazie, na wiązując

w or ganiczny sposób do otoczenia, w które budynek został

wpisany, ale trudno dopatrzeć się samopodobieństwa form

jako jednej z głównych zasad konstrukcji obiektów frak-

talnych. Jencks, opisując budynek, przyznaje: W rzeczywis-

tości całkowita falistość Eurhytmics Center jest kolejnym

fraktalem, tym razem takim, który naśladuje otaczające

góry

[2, s. 235].

W przypadku Eurythmics Center mamy

za tem bardziej do czynienia z przykładem architektury

organicznej niż architektury o cechach fraktalnych.

Innym obiektem, którego formie Jencks przypisuje

cechy fraktalne, jest Heinz Galinski School autorstwa Zvi

Heckera – izraelskiego architekta o polskim pochodzeniu.

Szkoła została zrealizowana w latach 80. XX w. przez

żydowską społeczność w berlińskiej dzielnicy Char lo t-

tenburg. Heinz Galinski School jest zespołem budynków

w niskiej dwu- i trzykondygnacyjnej zabudowie. Rzut

poziomy stanowi dynamiczną kompozycję brył zaprojek-

towanych na planach trójkątów o różnych skalach. Całość

wpisana jest w układ przypominający niektórym kryty-

kom architektury kwiatostan słonecznika. W rzeczywistoś-

ci bardziej adekwatne jest porównanie kompozycji rzutu

do kształtu spirali, co sugerować może jeden z wcześniej

zrealizowanych budynków tego samego autora, Spiral

Apart ment House w Ramat Gan w Izraelu, a także od -

ręcz ne notatki na jednym ze szkiców projektowych szko-

ły wykonane przez samego autora. W architekturze Heinz

Galinski School Jencks doszukuje się cech architektury

fraktalnej, pisząc: Dla odmiany izraelski architekt Zvi

Hecker wbudowuje reprezentatywne znaki w swoich frak-

talnych budynkach, takie jak spirale czy inne tradycyjne

formy, ale są one ukryte, widoczne dopiero na drugi rzut

oka

[2, s. 237–238].

Z powyższego wywodu wynika, że tym razem autor

The New Paradigm in Architecture zaliczył spiralę do

Oryg.: This form of photo-Cubism reveals the fractal identity of

a work, the wave forms are self-similiar but not self-same.

Oryg.: Indeed, the overall undulation of the Center is another frac-

tal, this time one, which mimics the surrounding mountains.

Oryg.: By contrast, the Israeli architect, Zvi Hecker, incorporates

representational signs into his fractal buildings, both the spiral and any

other conventional forms, but these are veiled and only apparent on

second glance.

of photo-

Cubism reveals the fractal identity of a work, the

wave forms are self-similar but not self-same [2, p. 235].

Writing about wave forms, Jencks surely means the sup-

porting structure of the roof of the ballet center in the form

of trusses resembling a bridge structure or – accor ding to

Jencks – layers of sections of an undu lating area. The

irregular shapes of the trusses can be a re miniscence of

the

contours of the mountains present in the landscape,

organically alluding to the surrounding into which the

building was blended, but it is difficult to see self-simila-

rity of the forms, being one of the key principles of fractal

objects. In his description of the building, Jencks admits:

Indeed, the overall undulation of the Center is another

frac tal, this time one, which mimics the surrounding

mountains [2, p. 235]. In the case of Eurythmics Center we

are dealing more with organic than fractal architecture.

Another object in whose form Jencks sees fractal fea-

tures is the Heinz Galinski School designed by Zvi Hecker

– Polish-born Israeli architect. The school was built in the

1980

by the Jewish community in Charlottenburg district

in Berlin. The Heinz Galinski School is a group of low

two and three-storied buildings. The layout plan is

a dy namic composition of structures designed on trian-

gular-plans of various scales. The whole development

blends into a project that reminds some critics of architec-

ture of a sunflower. In fact it would be more appropriate

to compare the plan of the composition to a spiral, which

can be suggested by one of the buildings designed earlier

by the same author, namely the Spiral Apartment House

in Ramat Gan in Israel, as well as handwritten notes on

one of the design sketches of the school made by the

author himself. Jencks reads the characteristic features of

fractal architecture into the architecture of the Heinz

Ga linski School, writing that: By contrast, the Israeli

architect, Zvi Hecker, incorporates representational signs

into his fractal buildings, both the spiral and any other

conventional forms, but these are veiled and only appar-

ent on second glance [2, pp. 237–238].

The above indicates that this time the author of The

New Paradigm in Architecture classified a spiral as

a frac tal object, whereas in fact a spiral is a curve that

lacks the characteristic features of fractal objects such

as e.g. self-similarity. Most probably associating a spiral

with fractals can be contributed to nautilus – a marine

mollusk, whose spiral but at the same time segmental

structure is given as an example of a natural fractal. The

fractal features in the construction of nautilus are evident

in the sequence of segments whose size and their relations

are connected with a mathematical formula (Fig. 1).

Another object mentioned by Jencks is the Cinema

Center in Dresden designed by Coop Himmelblau. When

describing that work, Jencks reads the building grid with

fractal self-similar rectangles, tilted at an angle of 45 and

60 degrees, into the drawing of the section of the object,

conveying the order of collapsing ice-floe, or growing

crystal [2]. Similarly in this case one can tell that the

author abuses the term “fractal” relying on the etymology

of that word (Latin fractus – fractured, broken), meaning

only some deviations from classical geometry, regular

objects, and fractured form structure.

W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej / In search of fractal architecture’s principles 65

obiektów fraktalnych, podczas gdy w rzeczywistości spi-

rala jest krzywą, której brak charakterystycznych dla

biektów fraktalnych cech, takich jak np. samopodobień-

stwo. Najprawdopodobniej skojarzenie spirali z fraktalami

można zawdzięczyć nautilusowi, morskiemu mięczakowi,

którego spiralna, ale zarazem segmentowa budowa poda-

wana jest jako przykład fraktala występującego w natu-

rze. W budowie nautilusa cechy fraktalne przejawiają się

właś nie w sekwencji segmentów, których gabaryty i wza-

jemny układ związane są matematyczną formułą (il. 1).

Kolejnym obiektem wymienianym przez Jencksa jest

Cinema Center w Dreźnie autorstwa spółki Coop Himmel-

blau. Opisując to dzieło, Jencks doszukuje się na rysunku

przekroju obiektu siatki konstrukcyjnej o fraktalnych

samopodobnych prostokątach odchylonych pod kątem

45 i 60 stopni, wywołujących wrażenie pękającej kry

lodowej lub rosnącego kryształu

[2]. I tym razem można

odnieść wrażenie, że autor nadużywa określenia „frak-

tal”, bazując na etymologii tego wyrazu (łac. fractus

– częściowy, połamany), mając na myśli jedynie pewne

odstępstwa od klasycznej geometrii, obiektów foremnych

i łamaną strukturę formy.

Następne przykłady pochodzą z Melbourne. Jednym

z nich jest budynek Storey Hall, o którym w pierwszych

słowach Jencks pisze: Storey Hall w Melbourne jest kolej-

nym, o wiele bardziej kolorowym bujnym fraktalem

[2, s. 240]. Budynek Story Hall to siedziba galerii sztuki

RMIT Galery i należy do kompleksu Royal Melbourne

Institute of Technology (RMIT). Obiekt zaprojektowany

Oryg.: Seen from the exterior, the crystalline walls lean out pre-

cariously following different mullion grids, at diferrent scale. It has

fractal of rectangles, forty-five and sixty degrees; it conveys the order of

collapsing ice-floe, or growing crystal on the glazed side.

Oryg.: Storey Hall is another exuberent fractal, and much more

colorful.

Further examples come from Melbourne. One of them

is the building of Storey Hall which Jencks describes as

follows: Storey Hall is another exuberant fractal, and

much more colorful [2, p. 240]. The building of Storey

Hall is the seat of RMIT Gallery and it is part of the com-

plex of Royal Melbourne Institute of Technology (RMIT).

It was designed by Ashton Raggatt Mc Dougall architec-

ture design studio as an infill building in Swanston Street,

between two Classical buildings. The design idea was to

create contrast both in form and in color between old

architecture and the newly designed building. Jencks

correctly reads the similarity between the structure and

tiling of Roger Penrose into the facade composition,

describing the facade as: Fractal forms based on the ape-

riodic tiling of Roger Penrose create larger patterns that

never repeat exactly and yet are always self-similar [2,

p. 240]. The search for the analogy to the Penrose mosaic

seems more appropriate than the search for fractal self-

similar forms in the facade structure (Fig. 2). It is proper

to call the composition of the front facade of Storey Hall

undulating or fractured (fractus). The elements of self-

similar pentagons of different scales are visible, however,

inside the building in the foyer decoration as well as in

acoustic and lighting elements of the auditorium, which

Jencks correctly described as: Fractal forms on the inte-

rior auditorium become acoustic tiles and lighting system

that,

every so often, turn into superordinate pattern of pen-

tagon [2, p. 241].

When presenting Storey Hall, Jencks

dwells on the urban aspect of the context of the object in

relation to the existing architecture of Swanston Street,

try

ing to

figure out if it is a new order – different from the

previous one – or maybe an example of a new grammar

presented by Michael Batty and Paul Longley in their

book

on fractal cities which demonstrate the emerging self-

-similar order at regional level and in megalopolis [1], [2].

Further in the chapter, Jencks gives more examples of

what he considers to be fractal buildings, which are tradi-

Il. 1. Heinz Galinski School

(rzut poziomy przyziemia)

i nautilus – mięczak morski

Fig. 1. The Heinz Galinski School

(ground floor layout plan)

and nautilus – marine mollusk

66 Piotr Furmanek

został przez pracownię architektoniczną Ashton Raggatt

Mc Dougall jako uzupełnienie zabudowy pierzei ulicy

Swanston Street, pomiędzy dwoma klasycystycznymi

budynkami. Idea projektowa polegała na stworzeniu kon-

trastu zarówno formalnego, jak i kolorystycznego pomię-

dzy starą i nowoprojektowaną zabudową. W kompozycji

elewacji Jencks doszukuje się – trafnie – podobieństwa

struktury do parkietażu Rogera Penrose’a, opisując fasa-

dę: Fraktalne formy bazujące na nieokresowym parkieta-

żu Rogera Penrose’a tworzą ogromne wzory, które nigdy

nie powtarzają się dokładnie, pozostając ciągle samopo-

dobne

[2, s. 240]. Poszukiwanie analogii do mozaiki

Penrose’a wydaje się bardziej właściwe niż poszukiwanie

w strukturze elewacji fraktalnych samopodobnych form

(il. 2). Ade kwatne w stosunku do elewacji frontowej

Storey Hall jest określenie jej jako kompozycji pofałdo-

wanej, można po wiedzieć połamanej (fractus). Elementy

samopodobnych pięciokątów o różnych skalach widocz-

ne są natomiast we wnętrzu budynku jako dekoracja foyer

oraz jako elementy akustyczne i oświetleniowe wnętrza

audytorium, co słusznie zauważa Jencks: Fraktalnymi

formami w wnętrzu au dytorium są płyty akustyczne i sys-

tem oś

wiet leniowy podporządkowany nadrzędnej formie

pięciokąta

[2, s. 241]. Przy okazji prezentacji Storey Hall

Jencks rozważa aspekt urbanistyczny kontekstu obiektu

w stosunku do istniejącej zabudowy ulicy Swanston,

zastanawiając się, czy jest to nowy porządek inny od

dotychczas obowiązującego, czy może przykład nowej

gra matyki głoszonej w pracy Mi chaela Batty’ego i Paula

Longleya o fraktalnych mias tach, które prezentują poja-

Oryg.: Fractal forms based on the aperiodic tiling of Roger

Penrose create larger patterns that never repeat exactly and yet are

always self-similar.

Oryg.: Fractal forms on the interior audytorium become acoustic

tiles and lighting system that, every so often, turn into superordinate

pattern of pentagon.

tionally referred to in the literature on the subject as

examples of deconstructivism in architecture. They

in clude Daniel Libeskind’s Jewish Museum in Berlin and

Frank O’Gehry Guggenheim Museum in Bilbao. Writing

about the first of the examples, Jencks emphatically

stresses: Without doubt the most convincing fractal build-

ing finished so far is Daniel Libeskind’s Jewish Museum

in Berlin [2, p. 243]. The feature which triggered Jencks

to use the term “fractal” is the repetitive broken lines

going at various angles both in the facades and in the floor

plans which additionally ideally match the Latin term

fractus (fractured). Regarding the other example – Jencks

describes its designer as the undoubted master of fluid

fractal [2, p. 250], unconvincingly explaining why

a curve, which is “fluid”, demonstrates the features of

fractal objects.

The analysis of his work, and especially the examples

he gives, indicates that Charles Jencks is undoubtedly

fascinated by the theory of fractals, trying to implement it

in architecture. This undoubtedly interesting idea is

unfortunately unsupported by more profound studies of

the essence of fractal objects. One can be then tempted to

ask the following question: What should the fusion of the

theory of fractals with the theory and practice of architec-

ture look like? It is impossible to answer that question

without knowledge of the fundamentals of the theory of

fractals, and the definition as well as a set of features

characteristic of fractal objects should be the basis of the

theory.

According to Benoit Mandelbrot – a Polish-born

French mathematician, universally considered to be the

father of the theory of fractals – fractal objects feature

three properties [3, p. 16]:

1) their generation method, which is determined by

the recursive relation,

2) their dimension, which is usually a fractional num-

ber,

3) their self-similarity.

Il. 2. Storey Hall w Melbourne

i parkietaż Rogera Penrose’a

Fig. 2. Storey Hall in Melbourne

and tiling of Roger Penrose

W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej / In search of fractal architecture’s principles 67

wiający się samopodobny porządek na poziomie regionu

i megalopolis

[1], [2].

W dalszej części rozdziału Jencks przytacza kolejne

przykłady, według jego opinii budynków fraktalnych,

a tradycyjnie w literaturze przedmiotu podawanych jako

przykłady architektury dekonstruktywistycznej. Są to Mu -

zeum Żydowskie w Berlinie autorstwa Daniela Libes kinda

oraz Muzeum Guggenheima w Bilbao Franka O’Gehry’ego

Pisząc o pierwszym z przykładów, emfatycznie pod-

kreśla: Bez wątpienia jednym z najbardziej przekonują-

cych fraktalnych budynków, jakie do tej pory powstały,

jest Muzeum Żydowskie w Berlinie Daniela Libeskinda

[2, s. 243]. Cechą, która sprowokowała Jencksa do użycia

określenia „fraktalne”, są linie łamane powtarzające się

i występujące pod różnymi kątami zarówno w elewacji,

jak i w rzutach obiektu, a dodatkowo idealnie pasujące do

łacińskiego określenia fractus (łamany). Odnośnie do

drugiego przykładu – nazywa jego twórcę niewątpliwym

mistrzem płynnych fraktali

[2, s. 250], nieprzekonująco

tłumacząc, dlaczego linia krzywa, a zatem „płynna”, ma

cechy obiektów fraktalnych.

Jak wynika z analizy treści pracy, a zwłaszcza załączo-

nych przykładów, Charles Jencks uległ niewątpliwej

fascynacji teorią fraktali, podejmując próbę jej implemen-

tacji do dziedziny architektury. Pomysł z pewnością inte-

resujący, ale niestety niepodbudowany głębszymi studia-

mi nad istotą obiektów fraktalnych. Można zatem się

pokusić o postawienie pytania: Jak powinna wyglądać

fuzja teorii fraktali z teorią i praktyką architektury? Nie

sposób odpowiedzieć bez znajomości podstaw teorii frak-

tali. A podstawą teorii niech będą definicja i zbiór cech

charakterystycznych obiektów fraktalnych.

Obiekty fraktalne według Benoit Mandelbrota – fran-

cuskiego matematyka polskiego pochodzenia uważanego

powszechnie za ojca teorii fraktali – charakteryzują się

trzema własnościami [3, s. 16]:

1) metoda generowania jest określona zależnością

rekurencyjną,

2) wymiar najczęściej jest liczbą ułamkową,

3) cechą charakterystyczną jest samo podobieństwo.

Dwie pierwsze dotyczą ściśle matematycznych właści-

wości, które ze względu na charakter niniejszej pracy nie

mają większego znaczenia, natomiast trzecia cecha samo-

podobieństwa – dla odmiany trudna do zdefiniowania

w kategoriach matematycznych – jest cechą najbardziej

wyróżniającą fraktale pośród innych obiektów geome-

trycznych i najbardziej zrozumiałą w sensie powszechne-

go użycia. Samopodobieństwo najłatwiej jest scharakte-

ryzować w kategoriach intuicyjnych na przykładzie kala-

fiora. Główka kalafiora składa się z gałązek, które po

oddzieleniu od reszty przypominają główkę. Z gałązki

można oddzielić jeszcze mniejsze części, które są podob-

Oryg.: As the work of Batty and Longley on Fractal Cities has

shown, there is an emergent order at the level of the region and mega-

lopolis.

Oryg.: Without doubt the most convincing fractal building fini-

shed so far is Daniel Libeskind’s Jewish Museum in Berlin.

Oryg.: The undoubted master of fluid fractal is Frank Gehry.

The first two regard strictly mathematical properties,

which due to the nature of this paper are actually irrele-

vant, whereas the third property – which is by contrast

difficult to define in mathematical categories – is the

property which distinguishes fractals from among other

geometrical objects most and at the same time it is most

understandable in everyday life. The easiest way to

de scribe self-similarity in intuitive categories is to

de scribe it with the use of cauliflower. The cauliflower

head is composed of stems, which, when separated from

the rest, resemble the head. The stems can be further

divided into smaller and smaller parts which are similar

both to the head and to the stem from which they come.

That property is visible in the third or even fourth genera-

tion. In mathematical models of fractals the property of

self-similarity is repeated in the next generation indefinite

number of times. When defining self-similarity in the

case of fractals, it can be said in simple terms that every

part of a fractal is a reduced copy of the whole [4]. The

most famous fractals include the Sierpinski Triangle and

Pyramid, the Van Koch Curve, the Sierpinski Carpet and

the Menger Sponge, the Barnsley Fern. Fractal objects

can be generated with the use of descriptive procedure,

which is the case with classic fractals, or with the use of

IFS method (Iterated Function System) which generates

both classic and general type of fractals. The implementa-

tion of IFS can be described as follows:

There is a fixed subset A in space R, usually referred

to as initiator and an affine transformation W. Affine

transformations include e.g. translation, rotation, scaling.

Transformation W can be a series of transformations

W = W

+ W

+…+ W

. As a result of transformation W of

set A, A

is generated, that is W(A) = A

. Set A

is usually

referred to as generator. The generated set A

is subjected

again to the same transformation W and set A

is genera-

ted, that is W(A

) = A

. A multiple transformation of suc-

cessively generated sets with the same transformation is

called iteration. Iteration generates a sequence of sets

which for certain parameters of transformation W tends to

the limit of the final set A

∞

called attractor of a given

transformation. Attractor is a set or a geometrical object

which demonstrates the properties of fractal objects, and

which is additionally continuous on the left, which in

simple terms means that element A

is basically the same

as the preceding element A

n–1

. A slight modification of

IFS, consisting in generating a set that is sum of the terms

of the sequence A = A

∪ A

∪…∪ A

, also generates a set

with fractal properties.

Example 1

A given prism G, with its height h and the base in the

shape of a regular hexagon with the side a, is situated in

a system of coordinates and transformation W, which is

a series of seven transformations W

, W

… W

W(A) = W

(G) ∪ W

(G) ∪…∪ W

(G)

Each of the transformations W

, W

2 .

… W

is addition-

ally a series of scaling and translation. Table 1 shows the

parameters of transformations.

Prism G, called initiator, is subjected to successive

transformations of scaling and translation

(G), W

(G), … W

(G)

68 Piotr Furmanek

ne zarówno do główki, jak i do gałązki, z której pocho-

dzą. Ta własność przenosi się na trzecią, a nawet na

czwartą generację. W matematycznych modelach fraktali

własność samopodobieństwa przenosi się na następną

generację nieskończoną liczbę razy. Definiując samopo-

dobieństwo w przypadku fraktali, można w uproszczeniu

powiedzieć, że każda część fraktala jest pomniejszoną

kopią całości [4]. Najbardziej znane fraktale to Trójkąt

i Piramida Sierpińskiego, Krzywa Van Kocha, Dywan

Sierpińskiego i Gąbka Mengera, Paprotka Barnsleya.

Generowanie obiektów fraktalnych może odbywać się za

pomocą procedury opisowej, tak jak to się dzieje w przy-

padku fraktali klasycznych, lub za pomocą metody IFS

(Iterated Function System), dzięki której generuje się

zarówno fraktale klasyczne, jak i ogólnego typu. Działanie

metody IFS można opisać w sposób następujący:

Dany jest podzbiór A przestrzeni R, zwany najczęściej

inicjatorem, oraz przekształcenie afiniczne W. Do grupy

przekształceń afinicznych zalicza się m.in. przesunięcie,

obrót, skalowanie. Przekształcenie W może być złoże-

niem przekształceń W = W

+ W

+…+ W

. W wyniku

działania przekształcenia W na zbiór A powstaje zbiór A

czyli W(A) = A

. Zbiór A

nazywany jest zazwyczaj gene-

ratorem. Uzyskany zbiór A

ponownie poddaje się działa-

niu tego samego przekształcenia W i otrzymuje się zbiór

, czyli W(A

) = A

. Wielokrotne przekształcanie kolejno

uzyskanych zbiorów za pomocą tego samego przekształ-

cenia nazywane jest iterowaniem. W wyniku iterowania

powstaje ciąg zbiorów, który dla pewnych parametrów

przekształcenia W dąży w granicy do zbioru końcowego

∞

zwanego atraktorem danego przekształcenia. Atraktor

to zbiór, czy inaczej obiekt geometryczny, który wykazu-

je cechy obiektów fraktalnych, a dodatkowo jest obiek-

tem lewostronnie niezmienniczym, co w uproszczeniu

oz nacza, że element A

nie różni się zasadniczo od ele-

mentu poprzedzającego A

n–1

. Nieznaczna modyfikacja

metody IFS polegająca na generowaniu zbioru, który jest

sumą wyrazów ciągu A = A

∪ A

∪…∪ A

, również pro-

wadzi do uzyskania zbioru o cechach fraktalnych.

Przykład 1

Niech będzie dany graniastosłup G o wysokości h

i pod stawie w kształcie sześciokąta foremnego o boku a,

usytuowany w układzie współrzędnych oraz przekształ-

cenie W, które jest złożeniem siedmiu przekształceń W

… W

W(A) = W

(G) ∪ W

(G) ∪…∪ W

(G)

Każde z przekształceń W

, W

… W

jest dodatkowo

złożeniem skalowania i translacji. Parametry przekształ-

ceń określa tabela 1.

Graniastosłup G, zwany inicjatorem, jest poddawa-

ny kolejno przekształceniom skalowania i translacji

(G), W

(G), … W

(G), w wyniku czego otrzymuje się

obiekt G

, który jest zbiorem (sumą) siedmiu przekształ-

conych graniastosłupów. Uzyskany obiekt G

nazywany

jest generatorem. Kolejność stosowanych przekształceń

nie jest zasadniczo dowolna, jednakże w niniejszym przy-

kładzie jest obojętna. Procedurę składania przekształceń

przedstawiono na ilustracji 3.

Otrzymany w wyniku przekształcenia obiekt generato-

ra G

jest w następnej kolejności przekształcany ponow-

which generate object G

which is a set (sum) of seven

transformed prisms. The generated object G

is referred to

as generator. Although the sequence of implemented trans-

formations

is basically not random, it is irrelevant in this

example. Figure 3 shows the series of transformations.

Object G

, generated as a result of transformation, is

then transformed again by transformation W(G

) which is

a series of the same transformations of scaling and trans-

la tion W

, W

, … W

defined in Table 1. The sequence of

im plementation of transformations should be identical to

those in the first step of the construction. As a result of

transformation of object G

by transformation W object

is generates. The following steps in the construction

consisting in a multiple recursive implementation of

trans formation W(G) to successively generated objects

, G

…

generate a sequence of terms which tends to

attractor of transformation W which demonstrates the

properties of fractal objects (Fig. 4). Defining parameters

of transformation W

, with value 1 for scaling and 0 for

translation, results in the first transformation being in fact

in every step of iteration a copy of the preceding term, and

consequently the object generated ultimately is the sum of

all previous terms of the sequence. The object constructed

in this way was generated as a re sult of a recursive proce-

dure, has self-similar properties, and its fractal dimension

is a frac tional number. The consistency of those factors

with Mandelbrot’s definition of fractals classifies the

object as a fractal object. Figure 4 shows the first four

steps of iteration.

The object generated as a result of strict implementa-

tion of the procedure of generation of fractal objects can

be a source of inspiration in the process of development

of architectural forms. According to the classification of

forms proposed by Juliusz Żórawski in his book titled

O budowie formy architektonicznej the generated object

can be described as a cohesive form with multi-plane

symmetry, multiple rhythm, and strict harmony based on

a fixed digital relation between its component elements.

Skalowanie

Scaling

Translacja

Translation

Obrót

Rotation

1110 0 0000

1/2 1/2 4/5 0 a 0 0 0 0

1/2 1/2 3/5

a/2 a√3/2a

0000

1/2 1/2 3/5

–a/2 a√3/2a

0000

1/2 1/2 4/5

a/2 –a√3/2a

0000

1/2 1/2 4/5

–a/2 –a√3/2a

0000

1/2 1/2 2/5

00000

Tab. 1. Parametry przekształceń W

(G), W

(G), … W

(G)

Tab. 1.

Parameters of transformations W

(G), W

(G), … W

(G)

W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej / In search of fractal architecture’s principles 69

nie przez transformację W(G

), która jest złożeniem tych

samych transformacji skalowania i translacji W

, W

, … W

zdefiniowanych w tabeli 1. Kolejność stosowania prze-

kształceń winna być identyczna jak w pierwszym kroku

konstrukcji. W wyniku przekształcenia obiektu G

trans-

formacją W otrzymuje się obiekt G

. Kolejne kroki kon-

strukcji polegające na wielokrotnym rekurencyjnym sto-

sowaniu przekształcenia W(G) w stosunku do kolejno

uzyskiwanych obiektów G

, G

…

generują ciąg wyra-

zów dążący w granicy do atraktora przekształcenia W,

który wykazuje cechy obiektów fraktalnych (il. 4). Zde-

finiowanie parametrów transformacji W

, o wartoś ciach

1 dla skalowania i 0 dla translacji, powoduje, że w wyni-

ku pierwszego przekształcenia w rzeczywistości powsta-

je w każdym kroku iteracji kopia wyrazu poprzedniego,

a w konsekwencji uzyskany w granicy obiekt jest sumą

wszystkich poprzednich wyrazów ciągu. Skon struo wa ny

w ten sposób obiekt powstał w wyniku procedury reku-

rencyjnej, ma cechy samopodobieństwa, a wymiar frak-

talny jest liczbą ułamkową. Zgodność wy mie nionych

czynników z definicją fraktali według Mandelbrota klasy-

fikuje obiekt jako obiekt fraktalny. Cztery pierwsze kroki

iteracji przedstawiono na ilustracji 4.

Uzyskany w wyniku ścisłego stosowania procedury

generowania obiektów fraktalnych obiekt może stanowić

źródło inspiracji w procesie kształtowania formy architek-

tonicznej. Zgodnie z klasyfikacją form proponowaną przez

Juliusza Żórawskiego w dziele zatytułowanym O budo-

These properties predispose the generated form to the use

in architecture and provide an appropriate example of an

object which can be classified as fractal architecture.

The presented method of search for an architectural

form based on the strictly mathematical formula for

Il. 3. Złożenie transformacji afinicznych W

, W

... W

kształtuje obiekt generatora

Fig. 3. A series of affine transformations W

, W

... W

generates the shape of generator

Il. 4. Iterowanie generatora kształtuje w granicy obiekt atraktora transformacji W(G)

Fig. 4. Iteration of generator ultimately generates the object of attractor of transformation W(G)

Il. 5. Fractal Tower jako teoretyczny przykład budynku

o cechach ściśle fraktalnych

Fig. 5. Fractal Tower as a theoretical example of a building

with strictly fractal properties

70 Piotr Furmanek

wie

formy architektonicznej otrzymany obiekt można okreś-

lić

jako formę spoistą o wielopłaszczyznowej symetrii,

wielokrotnym rytmie oraz ścisłej harmonii opartej na sta-

łym stosunku liczbowym między elementami składowy-

mi. Cechy te predysponują uzyskaną formę do wykorzy-

stania w architekturze oraz stanowią właściwy przykład

obiektu, który zaliczyć można do architektury fraktalnej.

Prezentowana metoda poszukiwania formy architekto-

nicznej opartej na ściśle matematycznej formule genero-

wania kształtu zapewnia uzyskanie właściwej geometrii

obiektu, a tym samym wyznacza prawidłowy kierunek

rozwoju architektury fraktalnej stanowiącej interesującą

alternatywę dla dekonstruktywizmu i odradzającego się

neomodernizmu.

Przedstawiony na ilustracji 5 obiekt nazwany roboczo

Fractal Tower (zgodnie z aktualnie modną tendencją) jest

przykładem czysto teoretycznym zaprojektowanym jedy-

nie w celu prezentacji metody, zlokalizowanym wpraw-

dzie w rzeczywistej sytuacji, ale niemającym podstaw

i cech realnej inwestycji.

Bibliografia/References

[1] Batty M., Longely P., Fractal Cities. A Geometry of Form and Func-

tion, Academic Press, London 1994.

[2] Jencks Ch., The New Paradigm in Architecture. The Language of

Post Modernism, Yale University Press, New Haven–London 2002.

[3] Kudrewicz J., Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1993.

[4] Peitgen H., Jurgens H., Saupe D., Granice chaosu. Fraktale, PWN,

Warszawa 1995.

Streszczenie

W roku 2002 Charles Jencks, znany amerykański architekt, historyk i krytyk architektury, do jednego z ważniejszych dzieł w swoim dorobku (Język

postmodernistycznej architektury) dodał dwa rozdziały: „The New Paradigm I – Complexity Architecture” (Nowy paradygmat I – Architektura

złożo ności) oraz „The New Paradigm II – «Fractal Architecture»” (Nowy paradygmat II – Architektura fraktalna). W rozdziałach tych autor głosi

narodziny nowych kierunków, twierdząc, że przyszłość architektury należeć będzie do fraktali, kosmosu i form falujących. Analizując dokładniej

postawione tezy, daje się dostrzec pewne nieścisłości w zakresie doboru przykładów ilustrujących postawione tezy. W artykule podjęto polemikę

z autorem, sugerując właściwe zasady kształtowania architektury fraktalnej oparte na matematycznej teorii fraktali.

Słowa kluczowe: obiekty fraktalne, system funkcji iterowanych, architektura fraktalna

Abstract

In 2002 Charles Jencks, a famous American architect, historian and architecture critic added two new chapters to one of his most important works

The Language of Post-Modern Architecture: “

The New Paradigm I

–

Complexity Architecture

” and “

The New Paradigm II

– ‘

Fractal Architecture

’ ”.

In the newly added chapters, the author proclaims the birth of new trends in contemporary architecture, saying that its future will belong to fractals,

universe and waving forms. Analyzing this thesis further one can notice certain inconsistencies in Charles Jencks’ argumentation and so the author

of this article writes a polemic, suggesting appropriate principles of fractal architecture based on mathematical theory of fractals.

Key words: fractal objects, iterated function system, fractal architecture

the generation of shape guarantees the right geometry of

an object, and consequently, sets the correct direction for

the development of fractal architecture which is an inter-

esting alternative to deconstructivism and re-emerging

neomodernism.

The presented object called Fractal Tower (in line with

today’s trend) is a purely theoretical example designed

only to present the method which, in spite of being locat-

ed in a real situation, has no basis or features of a real

investment (Fig. 5).

Translated by

Tadeusz Szałamacha

W poszukiwaniu zasad architektury fraktalnej

Piotr Furmanek

doi:10.5277/arc130106

Streszczenie