Comparison of contact distribution models with a stochastic ordering approach

2016

3(47)

DOI: 10.5277/arc160306

Maria Kamińska-Zabierowska*, Maciej Kamiński**

Porównywanie modeli kontaktów

metodą porządkowania stochastycznego

Comparison of contact distribution models

with a stochastic ordering approach

Wstęp

Obecne w literaturze przedmiotu porównania mo-

deli kontaktów czy dystrybucji przestrzennej koncentru-

ją się głównie na przedstawieniach, w jakim zakresie

jeden model jest różny od drugiego [1]. Zwykle opisuje

się ich podstawy, sposoby zachowania i brane pod uwagę

czynniki. Często wskazuje się zakres obszarów czy przy-

padków użycia, w których dany model sprawdza się le

piej niż inne. Opis ludzkiego zachowania, ujęty w postaci

zwartego wzoru, pozwala na zastosowanie w mode lach

symulacji. Model taki może być użyty przy planowa

niu nowej magistrali komunikacyjnej, nowego osiedla,

a także w modelowaniu ludzkich oddziaływań społecz-

nych.

W niniejszej pracy pragniemy wykazać, że nawet istot-

ne różnice w podejściu, które stoją za powstaniem modeli,

mogą przełożyć się na podobne ich działanie. Dodatkowo

zastosowana autorska metoda może być użyta do porów-

nywania ze sobą dowolnych modeli kontaktów i ukazy-

wania różnic w ich sposobie działania.

Introduction

Comparisons of contact distribution models or a spa-

tial distribution, which at present exist in literature, focus

mainly on presentations of the extent to which one model

is different from another [1]. Usually their bases, ways

of behaviours and considered factors are described. The

range of areas or cases of uses in which a given model

works better than others are often indicated. A description

of human behaviour presented in the form of a coherent

scheme allows the application of simulation models. This

model can be used when planning a new road network,

a new housing estate as well as when modelling human

social interactions.

In this paper we wish to show that even signicant dif-

ferences in the approach, which are behind the origins of

models, can be reected in their similar actions. Moreover,

the author’s method, which is applied here, can be used to

compare any contact distribution models and show differ-

ences in their mode of action.

Contact distribution models

Literature of the subject [1]–[3] formulates a variety of

contact exchange models. In this study, special attention

will be paid to models which are described by means of

concise mathematical formulas giving the number of con-

tacts exchanged between the source and the destination.

Exchanged contacts can be understood as the number of

people travelling from a source to a destination, e.g. from

* Wydział Nauk o Bezpieczeństwie Wyższej Szkoły Ocer skiej

Wojsk Lądowych imienia generała Tadeusza Kościuszki we Wroc ła wiu/

Faculty of Security Affairs, The General Tadeusz Kościuszko Mili tary

Academy of Land Forces.

** Wydział Architektury Politechniki Wrocławskiej/Faculty of Ar

chitecture, Wrocław University of Science and Technology.

74 Maria KamińskaZabierowska, Maciej Kamiński

Modele kontaktów

W literaturze przedmiotu [1]–[3] formułuje się różne

modele wymiany kontaktów. W niniejszej pracy szcze-

gólną uwagę poświęcimy modelom opisanym zwięzłymi

matematycznymi formułami podającymi liczbę kontak-

tów wymienianych między źródłem i celem. Wymieniane

kontakty mogą być rozumiane jako liczba osób podróżu-

jących od źródła do celu, np. od miejsca zamieszkania

do pracy. Jednak kontakt może mieć szersze znaczenie

i ukazywać inne relacje pomiędzy obiektami. Modele

odpowiadają na pytanie o liczbę kontaktów źródło–cel,

biorąc pod uwagę takie czynniki jak: wielkość źródła,

wielkość celu, wzajemną odległość między źródłem

a celem, wzajemne relacje pomiędzy celami. Wszystkie

te czynniki modeli wpływają na wynik i wybór celów

przez podróżnych ze źródła. Relacje źródło–cel są prak-

tycznie zawsze zależne od wielkości źródła kontaktu,

czyli potencjału wyjściowego. W niniejszej pracy pomi-

niemy jednak wpływ wielkości źródeł na liczbę kontak-

tów. Wpływ ten jest przeważnie liniowy, a więc zamiast

wyliczać dokładną liczbę realizowanych kontaktów źró-

dła w celu, wystarczające tu będzie korzystanie jedynie

z jego frakcji. Liczbę kontaktów można w prosty spo-

sób odzyskać, mnożąc frakcję przez wielkość potencjału

źródłowego.

Pierwszym modelem, który przedstawimy, będzie mo-

del production constrained [1]. Używany jest, gdy odle-

głość pełni kluczową funkcję dla liczby kontaktów (im

dalej, tym mniej kontaktów), a liczba celów przekłada

się bardziej na atrakcyjność niż na liczbę podróży, któ-

re faktycznie się w nich kończą [2]. Liczba kontaktów T

między źródłem i oraz celem j w tym modelu opisana jest

wzorem (1). Jak widać, odległość znajduje się w wykład-

niku, więc atrakcyjność celu spada wykładniczo (szybko)

w zależności od odległości.

gdzie:

– odległość (opór) pomiędzy i i j,

– liczba celów (atrakcyjność) w j,

– liczba źródeł w i,

β – parametr kalibrujący modelu.

Model ten w liczniku ułamka określa atrakcyjność

celu j. Mianownik jest elementem normalizującym (suma

wszystkich atrakcyjności). W ten sposób atrakcyjność po-

jedynczego celu przekłada się na procent podróży koń-

czonych w celu j od źródła i.

Innym modelem spotykanym w literaturze [1], [2], [4],

[5] jest model pośrednich możliwości (intervening op-

portunity). Zasadniczą jego cechą jest to, że ograniczenie

kontaktu między źródłem i celem nie wynika bezpośred-

nio z odległości pomiędzy nimi, lecz jedynie z liczby (i ja-

kości) celów pośrednich. Model uznaje, że każdy podróż-

ny układa możliwe cele swojej podróży kolejno w miarę

rosnącej ich odległości od źródła. Następnie podróżny,

kolejno, rzuca monetą (losuje) z prawdopodobieństwem

the place of residence to the workplace. However, a con-

tact may have a broader meaning and reveal other rela-

tionships between objects. Models respond to the question

about the number of source–destination contacts taking

into account such factors as the source size, the destina-

tion size, a mutual distance between the source and the

destination, and relationships between destinations. All

these factors of models inuence the result and choice of

destinations by travellers from the source. Source–desti-

nation relations are practically always dependent on the

size of the contact source, i.e. the initial potential. In this

study, however, we will ignore the inuence of the size

of sources on the number of contacts. This inuence is

mostly linear, therefore instead of calculating the exact

number of ongoing source contacts in the destination, it

is sufcient here to use its fractions only. The number of

contacts can be easily regained by multiplying the fraction

by the source potential size.

The rst model to be introduced is production con-

strained model [1]. It is used when a distance performs

a key function for the number of contacts (the farther,

the fewer contacts) and the number of destinations refers

more to attractiveness than to the number of travels which

actually end in them [2]. In this model the number of con-

tacts T

between source i and destination j is described by

formula (1). As it can be seen, the distance is in the expo-

nent, therefore the attractiveness of a destination exponen-

tially (quickly) decreases depending on the distance.







iij





where:

– distance (resistance) between i and j,

– number of destinations (attractiveness) in j,

– number of sources in i,

β – model calibration parameter.

This model in the fraction numerator determines the

attractiveness of destination j. The denominator is a nor-

malizing element (the sum of all types of attractiveness).

In this way, the attractiveness of a single destination re-

ects a percentage of travels nished in destination j from

source i.

Another model which can be found in literature [1],

[2], [4], [5] is intervening opportunity model. An essential

feature of this model is that a contact limitation between

a source and a destination does not result directly from the

distance between them, but only from the number (and

quality) of indirect destinations. The model recognizes

that all travellers plan possible destinations of their travels

in succession as their distance from the source increases

respectively. Then a traveller, respectively, throws a coin

(draws) with the probability of success λ – at each of the

destinations. The travel is made to the rst destination at

which the coin showed success. The probability distribu-

tion of travels from the source to kone in the order of the

arrangement of the destination has therefore a geometric

distribution with parameter λ, i.e. λ(1-λ)

k-1

. Of course, in

the area of our interests there are regions (e.g. cities, hous-

(1)







iij





Porównywanie modeli kontaktów/Comparison of contact distribution models 75

sukcesu λ – przy każdym z celów. Podróż odbywana jest

do pierwszego celu, przy którym moneta pokazała sukces.

Rozkład prawdopodobieństw podróży od źródła do ktego

w kolejności ułożenia celu ma zatem rozkład geometrycz-

ny z parametrem λ, tj. λ(1-λ)

k-1

. Oczywiście w obszarze

naszych zainteresowań leżą rejony (np. miasta, osiedla,

kwartały), w których zajmowanie się każdym pojedyn-

czym celem byłoby niepraktyczne. Dlatego też w modelu

pośrednich możliwości [2], [5] rozkład geometryczny zo-

staje uciąglony (potraktowany jako ciągły, a nie dyskret-

ny) do rozkładu wykładniczego z parametrem λ, a na osi

odciętych przedstawiane są nie poszczególne cele, lecz

zakresy (przedziały) odpowiadające wielkości poszcze-

gólnych rejonów.

Podejście takie symuluje swoisty chaos związany z lo-

sową niemożnością zaspokojenia potrzeb we wcześniej-

szych – bliższych – celach, jednocześnie odcinając się

od odległości jako wiążącego parametru. Odległość, jako

kryterium do realizowania potrzeby blisko, nie zawsze

jest uzasadniona (np. pobliski sklep może nie oferować

odpowiedniego asortymentu).

Liczba H

zaspokojonych kontaktów rejonu i w celach

leżących nie dalej niż rejon j w modelu pośrednich możli-

wości opisana jest wzorem:





iij





 1 

gdzie

gdzie:

– odległość (opór) pomiędzy i i j,

– liczba celów (atrakcyjność) w k,

– liczba źródeł w i,

λ – prawdopodobieństwo zaakceptowania celu.

W realnym użyciu każdego modelu wymagana jest

jego kalibracja, tj. odpowiednie dobranie parametrów

mo delu. Omawiane w niniejszej pracy modele mają po

jed nym parametrze. Parametry w obydwu modelach

mają róż ną naturę i działanie. W modelu production con -

strained parametr β, będący czynnikiem wykładnika,

ska luje to, jak bardzo odległość negatywnie wpływa na

chęć kontaktu. Im większy będzie ten parametr, tym wy

raźniej zaznaczany jest fakt, że podróżny jest niechętny

do realizowania dalekich kontaktów. Oczywiście, dla

różnych obszarów i skal modelowania wartości tego pa

ramet ru będą się wahać. W skali miasta czy regionu spo-

dziewalibyśmy się, że model najlepiej odtworzy istnie-

jące już kontakty, gdy parametr będzie dodatni. Będzie

to wytłumaczalne naturalną niechęcią do podróżowania

do np. bardzo odległego sklepu. Dla odróżnienia, w pra-

cy [1] podróże w skali kraju (przeprowadzki) wykazy-

wały zgodność, gdy wartość parametru była nieznacznie

ujemna, a więc odległość była wręcz pobudzająca. Sytu-

acja, w której im większa odległość, tym większa licz ba

kontaktów, przeczy intuicji. Wyjaśnieniem takiego zja-

wiska może być szukanie miejsc pracy dla specjalistów

ing estates, quarters), where dealing with every single

destination would be impractical. Therefore, in the model

of intervening opportunities [2], [5] the geometric distri-

bution is made constant (treated as continuous rather than

discrete) for the exponential distribution with parameter λ,

whereas on the abscissa axis the ranges (sections) which

correspond to the size of individual regions are presented

rather than specic destinations.

This approach simulates peculiar chaos which is asso-

ciated with a random inability to meet the needs in ear-

lier – closer – destinations and at the same time cutting

off the distance as a binding parameter. The distance, as

a criterion for implementing a need of “to be close”, is not

always justied (e.g. a nearby shop may not offer an ap-

propriate assortment).

Number H

of satised contacts of region i in desti-

nations situated no further than region j in the model of

intervening opportunities is described by the following

formula:

where

where:

– distance (resistance) between i and j,

– number of destinations (attractiveness) in k,

– number of sources in i,

λ – probability of accepting a destination.

In the real use of each model its calibration is required,

namely an appropriate choice of model parameters. The

models, which are discussed in this paper, have one pa-

rameter each. The parameters in two models have a dif-

ferent nature and operation. In the production constrained

model parameter β, which is a factor of the exponent, scales

how much the distance negatively affects the willingness

to contact. The bigger this parameter is, the more clearly

the fact is pointed out that a traveller is reluctant to realise

distant contacts. Of course, for various areas and scales

of modelling the values of this parameter will vary. In the

scale of a city or region we would expect that the model

will bring back already existing contacts when the param-

eter is positive. It will be explainable in terms of natural

reluctance to travel to, for example, a very distant store. In

contrast, the business [1] travels on a national scale (mov-

ing) showed a compliance when the parameter value was

insignicantly negative, so the distance was quite stimu-

lating. The situation in which the greater the distance, the

greater the number of contacts, denies intuition. The expla-

nation of this phenomenon can be found in the search for

jobs for specialists (in distant branches of companies out-

side the area of training) or the psychological back ground

(e.g. cases of escapes from the place of residence).

The model of intervening opportunities has the selec

tivity parameter λ (which can be transferred from the

ana logy to the parameter of exponential distribution) be-

(2)

(3)







}:{

ijik

ddk

G 







}:{

ijik

ddk







iij

eOH





 1 

76 Maria KamińskaZabierowska, Maciej Kamiński

(w odległych liach rm, poza obszarem ich szkolenia),

lub podłoże psychologiczne (np. ucieczki z miejsca za

mieszkania).

Model pośrednich możliwości ma parametr selektyw-

ności λ będący (co można przenieść z analogii do parame-

tru rozkładu wykładniczego) odwrotnością średniej liczby

celów, po której następuje akceptacja. Wraz ze spadkiem

parametru podróżni stają się mniej chętni, aby zakończyć

podróże szybko. Rośnie średnia odległość kontaktu, rozu-

miana tu bardziej jako liczba pomijanych celów niż jako

dystans geograczny.

Parametry modeli mogą być wybrane na podstawie wie

dzy eksperckiej i uwzględniać takie aspekty jak koszt po 

dróży, stopień zaopatrzenia punktów usługowych itp. [4].

W przypadku dowolnego modelu opisującego liczbę

kontaktów można tak dobrać parametr modelu, aby jak

najlepiej oddać kontakty realizowane pomiędzy źródłami

i celami w modelowanym obszarze. Można w ten sposób

badać jakość modeli, sprawdzając, czy i jak odpowiedni

dobór parametrów potra odzwierciedlić rzeczywisty, ist-

niejący układ kontaktów [1]. W pracy będziemy się starali

znaleźć i wykazać, że istnieją dobory parametrów takie,

przy których modele się zbliżają i zgadzają – nie tyle

z rzeczywistością, ile ze sobą wzajemnie.

Dodatkowym aspektem jest ocena wyników same-

go modelu i rozwianie pojawiających się wątpliwości.

Należy pamiętać, że w modelu pośrednich możliwości

zakończenie wszystkich podróży (zaspokojenie wszyst-

kich kontaktów od źródła) jest gwarantowane dopiero po

rozpatrzeniu nieograniczonego (nieskończonego) zbioru

celów. Zauważmy, że wzór (2) daje 1 dla G → ∞. Jest

to dlatego kłopotliwe, że nigdy nie spotykamy się z nie-

skończoną (w matematycznym sensie) liczbą możliwych

celów. Nawet dla obszaru całego świata jest to zawsze

liczba skończona. Korygowane jest to najczęściej poprzez

zewnętrzną (sztuczną) normalizację, która uwzględnia

jednak ograniczoną liczbę celów w obszarze modelowa-

nia. Bez takiej poprawki frakcja źródeł znajdujących swój

cel nigdy nie osiągnęłaby jedności, sprawiając, że część

podróżnych donikąd by nie docierała.

Porównanie modeli

Podejmowanym przez nas problemem jest porówna-

nie modeli kontaktów na przykładzie modeli: production

constrained i pośrednich możliwości. Wzory (1) i (2) nie

ukazują praktycznego działania ani nie niosą wprost in-

formacji (obrazu), jak rozkładany jest ruch. Należy za-

uważyć, że powyższe wzory nie opisują nawet tej samej

wartości. W jednym przypadku jest to konkretna liczba

podróży źródło–cel, a w drugim zrealizowane kontakty

„wcześniej niż”. Zasadniczo różnią się również założenia

stojące u podstaw sformułowania modeli. Chcąc porów-

nywać ich działanie, należy wybrać wspólne kryterium.

Możliwym sposobem porównania działania modeli jest

obliczenie wymiany kontaktów dla obydwu wariantów na

konkretnym przykładzie, np. w wybranym mieście czy

kraju. Takie porównania [1] są wykonywane, aby zobra-

zować różnice pomiędzy modelami i aby ocenić, który

jest lepszy na potrzeby danych zastosowań. Ocena róż-

ing the reciprocal of the average number of destinations

followed by acceptance. Along with the decrease of the

parameter travellers become less willing to end the travels

quickly. The average contact distance grows and it is un-

derstood here more as the number of skipped destinations

than as a geographical distance.

Model parameters can be selected on the basis of the

expert knowledge and take into account aspects such as

travel costs or a degree of service points’ supply, etc. [4].

In the case of any model which describes the number

of contacts, the model parameter can be chosen in such

a way so that the contacts between sources and destina-

tions will be carried out in the best way in the modelled

area. It is possible to examine the quality of models in

this way and to check if and how an appropriate selection

of parameters can reect the actual and existing system

of contacts [1]. In this study we will try to nd and dem-

onstrate that there are selections of parameters at which

models come together and agree – not so much with the

reality but more with each other.

Another aspect is to evaluate the results of the model

itself and to dispel any doubts. It should be noted that in

the model of intervening opportunities the completion of

all travels (satisfying all of the contacts from the source)

is guaranteed only after taking into consideration an un-

limited (innite) set of destinations. We must bear in mind

that formula (2) provides 1 for G → ∞. It is confusing be-

cause we never encounter the innite (in the mathematical

sense) number of possible destinations. Even for the area

of the whole world this number is always nite. It is most

often corrected through external (articial) normalization

which, however, takes into account a limited number of

destinations in the area of modelling. Without this correc-

tion the fraction of sources which nd their destination

would never have achieved unity and would have made

part of the travellers reach nowhere.

Comparison of models

The purpose of this study is to compare contact mod-

els on the example of models of production constrained

and intervening opportunities. Formulas (1) and (2) do

not show practical action and they do not carry direct

information (image) about how motion is distributed. It

must be noted that the above mentioned formulas do not

even describe the same value. In one case, it is a particular

number of source–destination travels, whereas in the sec-

ond case contacts are realised as “earlier than”. Basically,

the assumptions which constitute the basis of model for-

mulation also differ from one another. In order to compare

their performance, a common criterion must be chosen.

A possible method of comparing the performance of

models is to calculate the exchange of contacts for both

variants on a specic example, e.g. in a given city or coun-

try. Such comparisons [1] are performed to illustrate the

differences between models and to evaluate which one is

better for the needs of particular applications. The assess-

ment of differences in the results of these types of mod-

elling is, however, burdened with consequences of the

choice of initial conditions – a designated area of a city,

Porównywanie modeli kontaktów/Comparison of contact distribution models 77

nic w wynikach tych modelowań jest jednak obciążona

konsekwencjami wyboru warunków wstępnych – wska-

zanego obszaru miasta, regionu, państwa, czy też określo-

nych typów interakcji źródła i celu, tj. wybór ruchów do

handlu czy pracy. W pracy zaproponujemy alternatywną

metodę porównania modeli, poprzez zadanie właściwego

rozmieszczenia celów, które odpowiada pewnej koncepcji

rzeczywistości, jednocześnie konkretną rzeczywistością

nie będąc. Wybierzemy ciągłe rozkłady naśladujące bada-

ne obszary i na nich uruchomimy modele. Ciągłość roz-

kładów indukuje konieczność uciąglenia samych modeli,

czyli zmianę ich tak, aby operowały na danych ciągłych.

Nie jest to wadą, wręcz przeciwnie, poprawia ogólność

rozwiązania. Aby umożliwić porównanie i zestawienie,

uzależnimy od odległości frakcję zaspokojonych kontak-

tów. Jednym słowem, na osi odciętych będzie znajdowała

się odległość od źródła, a na osi rzędnych znajdować się

będzie frakcja podróży zaspokojonych wcześniej niż ta

odległość. Używając terminologii statystycznej, można

powiedzieć, że będziemy porównywali dystrybuanty (po-

rządek stochastyczny) zakończonych podróży.

Dla uproszczenia, źródło kontaktów będzie znajdowa-

ło się w początku układu współrzędnych. Takie zabiegi

pozwolą nam analitycznie i ogólnie porównać modele

wymiany kontaktów.

Wykładniczy związek liczby celów i odległości

W pierwszym badanym przez nas rozkładzie celów

(il. 1) gęstość ρ spada wykładniczo wraz z odległością r

od źródła, tj. ρ(r) = ρ

–θr

dla pewnych parametrów ρ

, θ

(il. 2). Rozkład ten został opisany przez H. Bleichera i po-

twierdzony przez C. Clarka [6] dla struktury zaludnienia

w mieście, która może być liniowo zależna od rozmiesz-

czenia celów. Inaczej mówiąc, rozkładu udowodnionego

dla gęstości zaludnienia używamy jako podstawy do przy-

jęcia rozkładu gęstości celów. Należy jednak w tym miej-

scu podkreślić, że odpowiedniość ta nie musi być w ogól-

nym przypadku prawdziwa.

region, state, or specic types of source and destination

interactions, namely the choice of movements to work

or trade. In this paper we propose an alternative method

of a model comparison by means of the task consisting

in proper distribution of destinations, which corresponds

to a certain conception of reality and at the same time is

not a concrete reality. We will choose continuous distri-

butions which imitate the researched areas and we will

start models on them. Continuity of distributions induces

the necessity to continue the models themselves so that the

change will make them operate on continuous data. This is

not a disadvantage, on the contrary, it improves the gener-

ality of the solution. In order to make the comparison and

juxtaposition possible, we will make the fraction of

satis-

ed contacts dependent on the distance. In short, on the ab-

scissa axis there will be a distance from the source, whereas

on the axis of ordinates there will be a fraction of satised

travels earlier than this distance. Using the statistical

termino logy, it can be concluded that we will compare dis-

tribution functions (stochastic order) of completed travels.

To simplify, the contact source will be located at the

beginning of the coordinate system. This will allow us to

compare the contact exchange models analytically and

generally.

Exponential connection of the number of

destinations and distances

In the rst studied distribution of destinations (Fig. 1),

density ρ decreases exponentially along with distance r

from source, i.e. ρ(r) = ρ

–θr

for some parameters ρ

, θ

(Fig. 2). This distribution was described by H. Bleicher

and conrmed by C. Clark [6] for population structure in

the city which might be linearly dependent upon distribu-

tion of destinations. In other words, we use a distribution

that is proved for population density as a base for accept-

ing a destination density distribution. It must be empha-

sized at this point, however, that this appropriateness does

not have to be true in the general case.

With the above distribution, the number of destinations

which are within distance r from the source is proportion-

al to a value that is expressed by the following formula:

Il. 2. Gęstość rozkładu celów w zależności od odległości

Fig. 2. Destinations distribution density as a function of a distance

Il. 1. Gęstość rozkładu celów w ujęciu 3D. W początku układu

współrzędnych znajduje się źródło kontaktów (centrum)

Fig. 1. Destinations distribution density in 3D. The contact source is

in point (0,0) of the coordinate system (centre)

Gęstość celów/Destinations density

Odległość od źródła/Distance from source

78 Maria KamińskaZabierowska, Maciej Kamiński

Przy takim rozkładzie liczba celów, które znajdują się

w odległości r od źródła, jest proporcjonalna do wartości

wyrażonej wzorem:

))1(1(π2π2)(

erdtetrG









Dla omawianej metody porównania istotny jest w tym

wypadku kształt rozkładu gęstości celów, a nie jego kon-

kretne wartości w punkcie i dokładne wyskalowanie, więc

we wzorze (4) przyjęliśmy θ = 1. Wielkości odległości r

oraz gęstości można traktować symbolicznie jako wyra-

żone w pewnych niedookreślonych jednostkach, które nie

mają znaczenia dla obliczeń i rozumowania.

Wartość funkcji (4) jest analogonem liczby G ze wzoru

(3), zatem – przy modelu pośrednich możliwości – frakcja

podróży zakończonych w odległości od źródła nie więk-

szej niż r jest proporcjonalna do wartości:

Natomiast przy modelu production constrained frakcja

ta jest proporcjonalna do wartości:

errdt

dkete

ete

)1(

)1(1

π2

2π

)(















Warto zwrócić uwagę, że model production con strained

został w tym momencie uciąglony, tj. suma (po celach)

z mianownika została zamieniona na całkę (po całym ob-

szarze modelowania), tworząc w ten sposób ana logiczny

parametr normalizujący jak we wzorze (1). Druga z całek

od 0 do r (do pewnej odległości od źródła) jest konieczna,

aby uciąglony rozkład zakończonych podróży przedstawić

jako zależną od odległości dystrybuantę, którą następnie

można porównywać. Na początku pracy pominięty został

wpływ wielkości źródła na wynik (parametr O

). Przyjmu-

jąc go jako jednostkowy i pomijając we wzorach, możemy

skupić się na sednie, czyli frakcji zakończonych podróży.

Frakcja podróży wyrażona wzorem (4) zamyka obszar

modelowania w zaledwie 2π celów (granica funkcji G dla

r → ∞), nie dając możliwości na zakończenie wszystkich

kontaktów. Lukę tę warto uzupełnić, odpowiednio skalu-

jąc (bez utraty ogólności) funkcję ze wzoru (5) poprzez

normalizację wartością granicy tej funkcji dla r → ∞. Po-

zwoli to na traktowanie zbioru celów jako pełnego (ska-

luje wynik modelu). Takie normalizacje są praktykowane

przy używaniu tego modelu [4]. Korekta prowadzi do na-

stępującego wzoru (7) na frakcję podróży zakończonych

w odległości od źródła nie większej niż r:

π2

))1(1(π2

)(

−

+−−

−

Podobnie jak postąpiliśmy przy formułowaniu wzo-

ru (4), z chęci uproszczenia obliczeń, nie zajmujemy

się skalowaniem jednostek parametrów odległości czy

liczby celów. Nie należy zatem dziwić się wielkościom

takim jak 2π celów, gdyż może ona oznaczać i być wy-

))1(1(π2π2)(

erdtetr









For purposes of the discussed method of comparison,

the shape of a destination density distribution is signicant

rather than its particular values in the point and accurate

scaling, hence in formula (4) we assumed θ = 1. Numbers

of distance r and density can be treated symbolically as

expressed in some undened units which are irrelevant for

calculations and reasoning.

Value of function (4) is an analogue of number G from

formula (3), therefore – within the intervening opportu-

nity model – the fraction of travels ended in the distance

from the source not greater than r is proportional to the

following value:

))1(1(π2)(

errG

−

+−−−

−=−

λλ

Whereas with production constrained model, this frac-

tion is proportional to the following value:

errdt

dkete

ete

)1(

)1(1

π2

2π

)(















We must bear in mind that production constrained

model was made constant in this case, i.e. the sum (after

destinations) from a denominator was changed into an in-

tegral (within the whole modelling area), in this way form-

ing an analogous normalising parameter as in formula (1).

It is necessary to introduce another integral from 0 to r (up

to a certain distance from the source) so that a constant

distribution of nished travels could be presented as a cu-

mulative distribution dependant on a distance which can

subsequently be used for comparison. At the beginning of

the study we ignored the inuence of the source size on

the result (parameter O

). By accepting this as individual

and ignoring it in formulas, we can focus on the essence,

i.e. a fraction of the nished travels.

The fraction of travels expressed by formula (4) closes

the area of modelling in only 2π of destinations (function

limit G for r → ∞), without yielding a possibility to nish

all contacts. This gap ought to be supplemented by the

adequate scaling (without losing generality) of the func-

tion using normalization of the value of this function limit

for r → ∞. This shall enable us to treat the collection of

destinations as a full unit (it scales the model result). Such

normalizations are often used in practice when applying

this model [4]. The correction leads us to the following

formula (7) pertaining to the fraction of travels ended

within the distance from the source not greater than r:

π2

))1(1(π2

)(

−

+−−

−

Similarly to the procedures taken when creating formu

la (4), for the sake of simplifying calculations, we are

not concerned with scaling units of distance parameters

or the num ber of destinations. Hence, we should not be

sur

prised at values such as 2π of destinations, as they may

(4)

(5)

(6)

(7)

(6)

(4)

))1(1(π2)(

errG

−

+−−−

−=−

λλ

Porównywanie modeli kontaktów/Comparison of contact distribution models 79

skalowana (przyjmować jednostki) jako setki tysięcy

miejsc pracy czy połówki hektarów powierzchni handlo

wych.

Skonstruowaliśmy zatem dwie funkcje – dystrybuanty

– F

oraz F

, które reprezentują odpowiednio modele

pośrednich możliwości i production constrained.

Porównywanie modeli zaczniemy od analizy przy-

padków najprostszych. Gdy β = 0, wzór (6) upraszcza

się do:

errF

−

+−= )1(1)(

Jednocześnie, gdy obliczymy F

ze wzoru (7), a para-

metr λ dąży do 0, otrzymamy:

−

+−−

→

+−=

−

)1(1

lim)(

π2

))1(1(π2

zatem modele te (dla wybranych parametrów) są równo-

ważne pod względem frakcji kontaktów zakończonych

w konkretnej odległości od źródła.

W tym miejscu warto zawrzeć pewne wyjaśnienia. Po-

równanie dla λ → 0 kłóci się w pierwszej chwili z ogól-

ną ideą przyjęcia parametru jako oczekiwanej wartości

odwrotności średniej liczby celów, po której następuje

akceptacja. Jednak nie jest to błędne, gdyż normalizacja

sprawia, że parametr działa teraz jako skala koncentracji

zakończonych kontaktów i dla parametru λ → 0 rozkład

jest identyczny z rozkładem celów. Sprawdzenie zacho-

wania się wzorów przy takich wartościach, choć czysto

akademickie i bynajmniej niewymagające wiedzy eks-

perckiej, jest jednak warte przedstawienia. Badany roz-

kład (4) (il. 1) zawiera w przedziale [0,6] około 98,2%

wszystkich swoich celów, co może być utożsamiane

z granicami zurbanizowanego obszaru funkcjonalnego

(functional urban area – FUA), np. wielkości aglomeracji

występującej w kontekście regionu. Modelowanie takich

spójnych funkcjonalnie obszarów wydaje się uzasadnione

i jest praktykowane [4]. W tym obszarze znormalizowany

model pośrednich możliwości dla parametru λ → 0 przy-

dziela (kończy) około 98,2% kontaktów, a dla λ = 0,1 oko-

ło 98,7%. Są to standardowe wartości spotykane w opra-

cowaniach i modelowaniach (por. [4]). Dla porównania,

przy parametrze λ = 1 w obszarze [0,6] realizowane jest

99,97% kontaktów, a maksymalnym stosowanym w opra-

cowaniach jest 99,9% (por. [4]).

Wyniki kolejnego porównania, przeprowadzonego

dla λ = 1 oraz β = 1,95, zostały przedstawione na ilustra-

cji 3. Jak widać, nawet dla takich parametrów wykresy

te są niemal identyczne. Supremum bezwzględnej różnicy

badanych funkcji wynosi nieco ponad 0,015, co oznacza

1,5% różnicy we frakcji przydzielanych kontaktów. Oczy-

wiście z ciągłości obydwu funkcji (7)(8) można wywnio-

skować, że dla każdego λ w przedziale [0,1] istnieje takie

β w przedziale [0,1.95], żeby wykresy wykazywały dopa-

sowanie. Dla większych wartości λ, przekładających się

na mocną (a więc i niespotykaną w rzeczywistości) kon-

centrację zaspokojonych kontaktów wokół źródła, różnice

pomiędzy (7) i (8) rosną, choć nie jest to wzrost mogą-

cy przekreślać względnie dobre dopasowanie wykresów

tych funkcji.

mean and be scaled (assume units) as hundreds of thousands

of workplaces of halves of hectares of commercial space.

Therefore, we constructed two functions – distribution

functions – F

and F

, which represent models of in-

tervening opportunities and the production constrained,

respectively.

We will start comparing models with the analysis of

the simplest cases. When β = 0, formula (6) simplies to:

errF

−

+−= )1(1)(

At the same time, when we calculate formula F

from

formula (7), and parameter λ tends to achieve 0, we ob-

tain:

−

+−−

→

+−=

−

)1(1

lim)(

π2

))1(1(π2

thus, these models (for selected parameters) are equiva-

lent in terms of fractions of completed contacts at the par-

ticular distance from the source.

It is worth including some explanations here. A com-

parison for λ → 0 is at odds, at rst, with a general idea

of accepting the parameter as the expected value of

the inverse of the mean number of destinations which

are followed by acceptance. However, it is not wrong

because now the normalization makes the parameter

work as a concentration scale of terminated contacts

and for parameter λ → 0 the distribution is identical

to the destination distribution. Checking the behaviour

of formulas at such values, although purely academic

and not requiring any expert knowledge, is worth pre-

senting. The researched distribution (4) (Fig. 1) con-

tains about 98.2% of all of its destinations in range [0,6],

which can be identied with boundaries of the functional

urban area (FUA), for example, sizes of agglome ra tion oc-

curring in the context of a region. Modelling such function-

ally coherent areas seems reasonable and is put into prac-

tice [4]. In this area, a standardized model of intervening

opportunities for parameter λ → 0 assigns (ends) approxi-

mately 98.2% of contacts and for λ = 0.1 approximately

98.7%. These are standard values found in studies and

modelling (cf. [4]). For comparison, with parameter λ = 1

in [0,6], 99.97% of contacts is realised and the maximum

used in studies is 99.9% (cf. [4]).

The results of another comparison which was carried

out for λ = 1 and β = 1.95 have been presented in Figure

3. As it can be seen, even for such parameters these

graphs are almost identical. Upper and lower bounds

of the absolute difference of the researched functions

are slightly more than 0.015, which means 1.5% of the

difference in the fraction of the assigned contacts. Of

course, from the continuity of both functions (7) (8)

it can be concluded that for each λ in range [0,1] there

exists such β in range [0,1.95] so that the graphs show

compatibility. For larger values of λ reected in strong

(and thus not experienced in the reality) concentration

of satised contacts around the source, the differences

between (7) and (8) grow although it is not an increase

which could eliminate relatively good compatibility of

these functions’ graphs.

(8)

(9)

80 Maria KamińskaZabierowska, Maciej Kamiński

Ustalony związek liczby celów i odległości

Podobnie jak poprzednio, celem rozważań jest sfor-

mułowanie wzorów na frakcje zrealizowanych kontaktów

w zależności od odległości od źródła. Jednak w tej części

przyjmiemy taki rozkład celów (il. 4), że na każdym okrę-

gu (o środku w źródle) jest ta sama liczba celów. Wów-

czas gęstość ρ w zadanej odległości r jest równa ρ(r) = θ/r

dla pewnego parametru θ, a liczba celów, które znajdu-

ją się w odległości r od źródła, jest proporcjonalna do

wartości:

rdx

π2

)(

∫

Taki rozkład celów może być rozumiany np. jako

istniejący tylko w percepcji podróżnego, a wynikający

z ograniczonej wiedzy lub ograniczonej możliwości po-

znania całego otoczenia. Rozkład taki można również

uzasadnić faktem, że wielkości skupisk ludności na pew-

nym obszarze spełnia prawo Zipfa [7]. Dla przyjętego

rozkładu celów frakcje realizowanych kontaktów w oby-

dwu modelach są wyrażone przez:

rrG

eerF

π2)(

11)(

λλ

−−

−=−=

oraz

∫

−

∞

−

−==

edt

dke

π2

)(

Oba modele będą działały identycznie wtedy, gdy

β = 2πλ. Dla innych wartości parametrów jedna z funkcji

lub F

dominuje nad drugą w każdym punkcie, za-

tem jeden z modeli zawsze realizuje większą frakcję za-

kończonych podróży: model pośrednich możliwości dla

β > 2πλ, a model production constrained w pozostałych

przypadkach. Kierując się wzorem (10), można zauwa-

żyć, że liczba celów nie jest tutaj ograniczona (roś nie wraz

z odległością od źródła). Nie jest zatem konieczna do-

Established relation of the destination

and distance number

As before, the purpose of this study is to create for-

mulas for the fractions of realized contacts depending

on the distance from the source. However, in this part of

the paper we will assume the distribution of destinations

(Fig. 4) that will have the same number of destinations

(with a centre in the source) on each circle. Then, density

ρ in predetermined distance r is equal to ρ(r) = θ/r for cer-

tain parameter θ and the number of destinations which are

located at distance r from the source is proportional to the

value of:

This distribution of destinations can be understood, for

example, as existing only in the perception of a traveller

and resulting from a limited knowledge or a limited op-

portunity of getting to know the entire surrounding. This

distribution can also be justied by the fact that the size

of the population concentrations in a certain area obeys

Zipf’s law [7]. For the adopted distribution of destinations

the fractions of realised contacts in both models are ex-

pressed by:

rrG

eerF

π2)(

11)(

λλ

−−

−=−=

and

∫

−

∞

−

−==

edt

dke

π2

)(

Both models will work identically when β = 2πλ. For

other parameter values one of the functions F

or F

Il. 3. Porównanie modeli pośrednich możliwości

i production constrained dla λ = 1 oraz β = 1,95

Fig. 3. Intervening opportunity and production constrained

comparison of models for λ = 1 and β = 1.95 parameters

Il. 4. Gęstość rozkładu celów w ujęciu 3D.

W początku układu współrzędnych znajduje się

źródło kontaktów (centrum)

Fig. 4. Destinations distribution density in 3D.

The contact source is in point (0,0)

of the coordinate system (centre)

Frakcja zaspokojenia/Satisfaction fraction

Odległość od źródła/Distance from source

Gęstość celów/Destinations density

(10)

(11)

(12)

(10)

rdx

π2

)(

∫

Porównywanie modeli kontaktów/Comparison of contact distribution models 81

dominates over the other at each point, therefore one of

the models always pursues a bigger fraction of completed

travels, namely a model of intervening opportunities for

β > 2πλ and the production constrained model in other

cases. According to formula (10), it can be noticed that

the number of destinations is not limited here (it increases

along with the distance from the source). That is why the

further normalisation of the result for the model of inter-

vening opportunities is not necessary, unlike in the previ-

ous section (formula 7).

The number of destinations does not depend

on the distance

The last distribution on which we will compare the

models is a uniform distribution characterized by the pres-

ence of the same number (density) of destinations at each

point. As a consequence, the distribution of destinations

is a plane. Assuming unit density of the destination distri-

bution, i.e. ρ(r) = 1, the number of destinations which are

located at distance r from the source is expressed by the

following formula:

Describing fractions of completed contacts for both

models, we receive the following formulas:

π)(

11)(

rrG

eerF

λλ

−−

−=−=

for intervening opportunities model and

∫

−

∞

−

+−==

erdt

dkke

)1(1

π2

)(

for production constrained model.

Also in this case, the number of destinations is unlim-

ited, therefore normalisation for the model of intervening

opportunities is not required (14).

For comparison purposes, we will choose parameter

λ = 1. It turns out that the model of intervening opportuni-

ties allocates almost 99% of all contacts for r from range

[0,1.2]. Therefore, we will assume this range as referen-

tial for comparisons with production constrained model.

Due to the intersection of fraction graphs (14) and (15),

a criterion for model comparisons became upper and low-

er bounds of absolute difference of functions F

i F

in the abovementioned range. We analyzed the value of

these upper and lower bounds depending on parameter β.

As a result, we selected parameter β equal to about 3.8 as

the one to minimize the value of the considered criterion.

It is claimed that for β = 3.8 there appears approximately

four times larger discrepancy of models (circa 6%) than

in the case of the exponential relation of destinations and

distances. The analysis of the difference fraction (Fig. 5)

shows that the production constrained model, which pre-

fers shorter travels, assigns a greater contact fraction clos-

er to the source.

datkowa normalizacja wyniku dla modelu pośrednich

możli wości, inaczej niż w poprzednim podrozdziale

(wzór 7).

Liczebność celów nie zależy od odległości

Ostatnim rozkładem, na którym porównamy modele,

jest rozkład równomierny, cechujący się występowaniem

tej samej liczby (gęstości) celów w każdym punkcie.

Dzięki temu rozkład celów jest płaszczyzną. Przyjmując

jednostkową gęstość rozłożenia celów, tzn. ρ(r) = 1, liczba

celów, które znajdują się w odległości r od źródła, wyraża

się wzorem:

∫

rxdxr

ππ2)(

Opisując frakcje zrealizowanych kontaktów dla oby-

dwu modeli, otrzymujemy następujące wzory:

π)(

11)(

rrG

eerF

λλ

−−

−=−=

dla modelu pośrednich możliwości oraz

∫

−

∞

−

+−==

erdt

dkke

)1(1

π2

)(

dla modelu production constrained.

Również w tym przypadku liczba celów jest nieogra-

niczona, dlatego nie jest wymagana normalizacja dla mo

delu pośrednich możliwości (14).

Do przeprowadzenia porównania wybierzemy parametr

λ = 1. Okazuje się, że wówczas model pośrednich możli-

wości przydziela niemal 99% wszystkich kontak tów dla

r z przedziału [0,1.2]. W związku z tym przyj miemy ten

przedział jako referencyjny dla porównań z modelem pro -

duction constrained. Ze względu na przecinanie się wy

kresów frakcji (14) i (15) kryterium porównań modeli

stało się supremum bezwzględnej różnicy funkcji F

i F

we wskazanym wyżej przedziale. Przeprowadziliś

my analizę wartości tego supremum w zależności od pa-

Różnica frakcji zaspokojenia

Satisfaction fraction difference

Odległość od źródła/Distance from source

(13)

(14)

(15)

Il. 5. Różnica pomiędzy wzorami (14) i (15)

dla parametrów λ = 1 i β = 3,8

Fig. 5. Difference between formulas (14) and (15)

for λ parameters = 1 and β = 3.8

∫

rxdxr

ππ2)(

82 Maria KamińskaZabierowska, Maciej Kamiński

Conclusions

The characteristics of the realised contacts which were

described by two models, including in this case produc-

tion constrained and intervening opportunities in formulas

(1) and (2), cannot be directly comparable. The method,

which is proposed by the authors, consists in the task of

continuous destination distribution and deriving formulas

for contact fractions realised at a predetermined distance

from the source in such conditions. The adopted desti-

nation distribution on the plane can be described by the

density of destination distribution at distance r from the

source marked by ρ(r). Then the fractions of realized con-

tacts are proportional, respectively, for models of produc-

tion constrained and intervening opportunities, to

∫

∞

−

)(π2

ett

and

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

∫

dttt

)(π2exp

ρλ

The fractions were reduced to a function which can be

interpreted as a cumulative distribution, therefore they

can be compared in terms of stochastic orders. For our

purposes, the fractions were compared at each point (e.g.

Fig. 3), namely in the ordinary stochastic order (cf. [8]

Chapter 17).

The comparison results which were described in detail

show a signicant inuence of the chosen distribution of

destinations on the models’ operation. Although for the pro-

posed distributions it is not possible to clearly indicate in

which model travels end more quickly, however, the differ-

ences between the fractions in both models were calculated.

The presented comparisons can be carried out for differ-

ent models of contact exchange and other distributions of

destinations. The purpose of this work is therefore to de-

ne and demonstrate a different method of comparing mo

dels, which abstracts from the concrete implementations.

A comparison of models leads to the observation that

the considered models do not show signicant differences

on such distributions. At the same time, the existence of

contact exchange models is connected with a desire to

reect reality in the best way. Reality and distribution of

contacts must be as close as possible, i.e. it must corre-

spond to the results of each model, regardless of the fact in

which reality (at which point) it will start. It is not surpris-

ing, therefore, that for distributions which are close to ideal

ones (Fig. 1 and 4), the models show a high compatibility.

If the models were incompatible, it would mean that one

of them reects the reality signicantly and qualitatively

in a different way (better or worse) even for such a simple

case as the one discussed in this study. Eventually, this

would result in the lack of popularity of one of the models.

Translated by

Bogusław Setkowicz

rametru β. W jej wyniku wyłoniliśmy parametr β równy

około 3,8 jako minimalizujący wartość rozważanego

kryterium. Dla β = 3,8 stwierdza się około czterokrotnie

większą rozbieżność modeli (ok. 6%) niż w przypadku

wykładniczego związku liczby celów i odległości. Ana-

liza przebiegu różnicy frakcji (il. 5) pozwala stwierdzić,

że model production constrained, preferując krótsze

podróże, przydziela większą frakcję kontaktów bliżej

źródła.

Wnioski

Charakterystyki realizowanych kontaktów opisywane

przez dwa modele, w tym przypadku production constra-

ined i pośrednich możliwości we wzorach (1) i (2), mogą

nie być wprost porównywalne. Zaproponowana przez

autorów metoda polega na zadaniu ciągłego rozkładu ce 

lów i wyprowadzeniu dla takich warunków wzorów na

frakcje kontaktów realizowanych w zadanej odległości

od źródła. Przyjęty rozkład celów na płaszczyźnie może

być opisany poprzez gęstość rozkładu celów w odległości

r od źródła, oznaczaną przez ρ(r). Wówczas frakcje zre-

alizowanych kontaktów są proporcjonalne, odpowiednio

dla modeli production constrained i pośrednich możli

wości, do

∫

∞

−

)(π2

ett

oraz

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

∫

dttt

)(π2exp

ρλ

Frakcje zostały doprowadzone do postaci funkcji, które

mogą być interpretowane jako dystrybuanty, a więc po-

równywane w kategoriach porządków stochastycznych.

Do naszych celów frakcje porównywane były w każdym

punkcie (m.in. il. 3), tj. w zwykłym porządku stochastycz-

nym (por. [8] rozdz. 17).

Opisane szczegółowe wyniki porównań świadczą

o znaczącym wpływie obranego rozkładu celów na dzia-

łanie modeli. Chociaż dla zaproponowanych rozkładów

nie jest możliwe jednoznaczne wskazanie, w którym mo-

delu podróże szybciej się kończą, jednak obliczono, jakie

są różnice między frakcjami w obydwu modelach.

Przedstawione porównania można przeprowadzić dla

różnych modeli wymiany kontaktów i innych rozkładów

celów. Zadaniem tej pracy jest zatem zdeniowanie i po-

kazanie odmiennej metody porównywania modeli, abstra-

hującej od konkretnych realizacji.

Porównanie modeli prowadzi do spostrzeżenia, że

rozważane modele nie wykazują na takich rozkładach

znaczących różnic. Jednocześnie istnienie modeli wy-

miany kontaktów jest związane z chęcią jak najlepsze-

go oddania rzeczywistości. Rzeczywistość i rozkładanie

kontaktów musi być możliwie bliskie, tj. musi odpo-

wiadać wynikom każdego modelu niezależnie od tego,

w jakiej rzeczywistości (na jakim wejściu) zostanie uru-

(16)

(17)

Porównywanie modeli kontaktów/Comparison of contact distribution models 83

chomione. Nie dziwi zatem, że dla rozkładów, które zbli-

żone są do idealnych (il. 1 i 4), modele wykazują dużą

zgodność. Gdyby modele były niezgodne, oznaczałoby

to, że jeden z nich oddaje rzeczywistość znacząco i ja-

kościowo inaczej (lepiej lub gorzej) nawet dla tak pro-

stego przypadku, jak rozważany w niniejszej pracy. Os-

tatecznie skutkowałoby to brakiem popularności jednego

z modeli.

Bibliografia /References

[1] Akwawua S., Pool J.A., The development of an intervening opportu-

nity model with spatial dominance effects, „Journal of Geographical

Systems” 2001, No. 3, 69–86.

[2] Wilson A.G., A statistical theory of spatial distribution models,

„Transportation Research” 1967, Vol. 1, 253–269.

[3] Zipser T., Modele symulacyjne w rozwoju sieci osadniczej, Raporty

Instytutu Architektury i Urbanistyki PWr, Wrocław 1975.

[4] Zipser T., Sławski J., Modele procesów urbanizacji – teoria i jej wy-

korzystanie w praktyce planowania, PWE, Warszawa 1988.

[5] Stouffer S., Intervening Opportunities: a theory relating mobility

and distance, „American Sociological Review” 1940, Vol. 5, 845–

867.

[6] Clark C., Urban population densities, „Bulletin de Insitute Interna-

tionale de Statistique” 1958, Vol. 36, 60–68.

[7] Auerbach F., Das Gesetz der Bevölkerungskonzentration, „Peter-

mann’s Geographische Mitteilungen” 1913, Vol. 59, 74–76.

[8] Marshall A.W., Olkin I., Inequalities: theory of majorization and its

applications, Academic Press, New York 1979.

Streszczenie

Nie jest znana uniwersalna metoda porównywania modeli kontaktów. Modele spotykane w literaturze są najczęściej zadane wzorem matematycz-

nym, który opisuje swoistą charakterystykę modelu, ale niewiele mówi o jego działaniu. W niniejszej pracy zaproponowano sposób porównywa-

nia modeli kontaktów. Dzięki analitycznemu uruchomieniu modeli na idealnych, teoretycznych rozkładach porównano, jakie typy podróży pre-

feruje model, jak rozkłada ruch oraz jak przedstawiają się te cechy w zestawieniu z innymi modelami. Kryterium porównawczym uczyniliśmy

stochastyczne porządkowanie frakcji zrealizowanych kontaktów. Pomysł ten wydaje się dobrą alternatywą dla porównywania modeli na

konkretnych miastach. Porównania dokonano dla modeli production constrained oraz intervening opportunity (modelu pośrednich możliwości).

Wyniki otrzymane dla przyjętych rozkładów celów ukazują, że choć obydwa modele bardzo się różnią w swoich założeniach, w szczególnych

przypadkach mogą podobnie realizować kontakty.

Słowa kluczowe: planowanie przestrzenne, modele kontaktów, model pośrednich możliwości, porządek stochastyczny

Abstract

No universal method for comparing contact models is known. Models we met in literature are usually stated by a complicated mathematical formula,

which does not provide any information about the model’s specic behaviour, although it characterizes the model. In this paper the authors present

their own way of comparing contact models. We run models in analytic theory on ideal theoretical distributions. Thanks to this we are able to compare

multiple models and their behaviour in terms of arriving distribution or short/long trips preferences. We use stochastic ordering approach for fractions

of completed contacts as the criterion for comparing models. The presented idea seems to be a good alternative to a comparison based on the model’s

output for xed city instances. Comparison is made for production constrained and intervening opportunity models. The results for chosen distribu-

tions show that, even if both models differ much in their assumptions, they can give very similar outputs.

Key words: spatial planning, contact models, intervening opportunity model, stochastic order

Wynik modelowania samosterującego dla konty-

nentu azjatyckiego, porównanie wyniku 250 ite-

racji z rzeczywistą wielkością miast w ramach

funkcjo nalnych obszarów zurbanizowanych (FUA)

Result of a selflearning model for the Asian

con tinent, comparison of the results of 250 itera-

tions with the actual size of the cities within the

frame work of functional urban areas (FUA)

Źródło/Source: Zipser W., Wpływ determinant geogra-

ficznych na tworzenie się poza Europą ponadregional-

nych struktur osadniczych w skali kontynentalnej,

raport serii SPR. NR I12/S018/11

Comparison of contact distribution models with a stochastic ordering approach

Maria Kamińska-Zabierowska, Maciej Kamiński

doi:10.5277/arc160306

Abstract