Fractal facades

2015

1(41)

DOI: 10.5277/arc150108

Piotr Furmanek*

Fasady fraktalne

Fractal facades

Wprowadzenie

Fraktale

to obiekty geometryczne, które można zdeﬁ -

niować trzema właściwościami:

– metoda generowania jest określona zależnością re-

kurencyjną,

– wymiar jest najczęściej liczbą ułamkową,

– cechą charakterystyczną jest samopodobieństwo.

Pierwsza cecha określa zależność kolejnego wyra zu

ciągu od wyrazu poprzedniego. Druga, dotycząca po ję -

cia wymiaru, ma szczególne znaczenie, ponieważ w od-

różnieniu od innych obiektów wymiar Hausdorffa w przy -

pad ku fraktali jest liczbą ułamkową. Ostatnia, trze cia

cecha samopodobieństwa w uproszczeniu oznacza, że

każda część fraktala jest pomniejszoną kopią całości [1,

s. 62].

Ze względu na sposób generowania obiekty fraktalne

moż na podzielić na cztery typy:

– fraktale klasyczne generowane za pomocą procedury

opisowej,

– fraktale generowane za pomoc

ą systemu funkcji ite-

rowanych (Iterated Function System – IFS),

– fraktale generowane za pomocą systemu Linden -

mayera (L-systemu),

– powierzchnie fraktalne.

* Wydział Architektury Politechniki Wrocławskiej/Faculty of

Archi tecture, Wrocław University of Technology.

Pojęcie „fraktal” wprowadzone przez Benoit Mandelbrota po -

chodzi od łacińskiego fractus – złamany, częściowy.

Fractal facades

Fractals

are geometrical objects which can be defined

by three properties:

– method of generation is determined by the recurrent

relationship,

– dimension is most often a fractional number,

– self-similarity is their characteristic feature.

The first feature determines the relationship between

the succeeding element of a sequence and the preceding

element. The second, regarding the notion of dimension,

has special significance as, unlike other objects, the Haus-

dorff dimension in the case of fractals is a fractional num-

ber. The last, third feature of self-similarity in simple

terms means that each part of a fractal is a downscaled

copy of the whole [1, p. 62].

Depending on their generation method, fractal objects

can be divided into four types:

– classic fractals generated with the use of descriptive

procedure,

– fractals generated with the use of IFS method (Ite-

rated Function System),

– fractals generated with the use of Lindenmayer sys-

tem (L-system),

– fractal surfaces.

The term “fractal” coined by Benoit Mandelbrot derives from

Latin fractus – fractured, partial.

98 Piotr Furmanek

Fasady fraktalne w budowlach historycznych

Od momentu stworzenia przez Benoit Mandelbrota

podstaw teorii fraktali badania w tym kierunku odbywały

się w wielu dziedzinach jednocześnie. Odkrycia do ty-

czą ce fraktalnej geometrii natury opublikowane przez

Mandelbrota w pracy The Fractal Geometry of Na ture

(Fra ktalna geometria natury) [2] zainspirowały nau-

kow ców wielu dziedzin do głębszej analizy przedmiotu

ich badań. Fala zainteresowań nie ominęła dziedzin zaj-

mu jących się teorią architektury. Wśród wielu tematów

dotyczących związków geometrii fraktalnej z architekturą

istotne miejsce zajmują prace dotyczące fasad o cha rak-

terze fraktalnym.

Carl Bovill, profesor Uniwersytetu w Maryland, w pra-

cy zatytułowanej The Doric Temple as a Fractal (Po rzą-

dek dorycki jako fraktal) [3] dokonuje analizy świątyni

grec kiej o porządku doryckim. Według niego w układzie

fa sa dy można zauważyć elementy związane cechą sa-

mo podobieństwa, najbardziej charakterystyczną cechą

obiek tów fraktalnych. Swoją tezę próbuje udowodnić,

wy korzystując jedną z najbardziej rozpowszechnionych

me tod generowania fraktali – system funkcji iterowanych,

zwa ny w skrócie IFS. Podstawą tej metody jest prze kształ-

canie obiektów geometrycznych za pomocą transformacji

aﬁ nicznych, a następnie wielokrotne powtarzanie tej

samej operacji na kolejno uzyskiwanych zbiorach.

Według Bovilla poddanie układu kolumn z architrawem

operacji skalowania o odpowiednio dobranych parame-

trach prowadzi do uzyskania rysunku żłobkowanej ko-

lumny wraz z wieńczącą głowicą. Dowodem może być

zgodność liczby kaneli z liczbą kolumn podpierających

architraw w klasycznej świątyni doryckiej. Jeżeli liczba

kaneli wynosiła 16–20, to na widocznej ortogonalnie części

kolumny występowało 8–10 krawędzi oddzielających

kanele. W przypadku ośmiu krawędzi liczba ta jest zgodna

z liczbą ośmiu kolumn frontonu Partenonu – kanonicznej

świątyni doryckiej.

W dalszej analizie Carl Bovill odkrywa cechę samo-

podobieństwa pomiędzy układem frontonu a kompozycją

tryglifu. Dowodem jest przekształcanie skalowania ze

specjalnie dobranymi parametrami odręcznych rysunków

frontonu świątyni (il. 1). Zgodnie z rekurencyjnie stoso-

wa ną metodą IFS następne przekształcenia skalowania

tryglifów prowadzą do uzyskania elementów zwanych

mutulae

i guttae

. Według Bovilla samopodobieństwo or-

namentów frontonu ma czterostopniową głębię

, co mo-

że być dowodem na fraktalny charakter fasady świą tyni

doryckiej.

Wątpliwości może budzić odręczny charakter ry sun-

ków fasad badanych budowli oraz wybiórcza akceptacja

wyników przekształceń IFS, w których wyniku w uzy ska-

nym obrazie kolumny będącej zredukowanym obrazem

Mutulae (łac. mutulus) – prostokątna płytka mocowana do spod-

niej powierzchni gzymsu.

Guttae (łac. – łezki, krople) – rodzaj ornamentu umieszczany pod

mutulusem lub na spodniej części gzymsu.

Oryg.: The IFS analysis of a Doric temple clearly shows a self-

affine cascade of ornament that is four levels deep [3, s. 288].

Fractal facades in historical buildings

Since the moment when the basis of the theory of frac-

tals was developed by Benoit Mandelbrot research in this

area has been conducted in numerous fields at the same

time. Discoveries regarding fractal geometry of the nature

published by Mandelbrot in The Fractal Geometry of

Nature [2] inspired scientists in many fields to analyze the

object of their research deeper. A wave of interest was

also evident in the areas regarding the theory of architec-

ture. Many topics regarding the relationships between the

geometry of fractals and architecture included works

regarding fractal facades.

Carl Bovill, professor at the University of Maryland, in

his work The Doric Temple as a Fractal [3] analyzes the

Greek temple built in the Doric order. In his opinion its

facade, demonstrates some elements connected with self-

similarity, the most characteristic feature of fractal objects.

He tries to prove his claim with the use of one of the most

popular fractal generation methods – IFS. The basic con-

cept in this method is to transform geometrical objects

with the use of affine transformations and then repeat the

same operation multiple times with the next sets.

According to Bovill subjecting a system of columns

with the architrave to scaling with adequately selected

parameters results in a drawing of a fluted column crow-

ned with a ca pital. Proof can be provided by the consis-

tency of the num ber of flutes with the number of co lumns

supporting the architrave in the classic Doric tem ple. If

the number of flutes was 16–20, then the orto gonally vi -

sible part of the column had 8–10 edges separating the

flutes. In the case of eight edges, this number is consistent

with the number of eight columns of the front of the

Parthenon – the canonic Doric temple.

Further in his analysis, Carl Bovill discovers the fea-

ture of self-similarity between the front and the composi-

tion of the triglyph. Proof comes from the transformation

of scaling with specially selected parameters of hand-made

drawing of the front of the temple (Fig. 1). Accord ing to

the recurrently applied IFS method the successive trans-

formations of scaling triglyphs result in the elements

called mutulae

and guttae

. According to Bovill self-

simi larity of ornaments of the front has four levels of

depth

which can prove the fractal nature of the facade of

this Doric temple.

Some doubt may arise from the sketchy nature of the

drawings of the facades of the buildings being studied as

well as a selective acceptance of the results of IFS trans for-

ma tions which resulted in an image of a column, being a re -

duced

image of the facade, with a scaled triangle as a nar-

rowed image of the tympanum in the place of its capital.

Nicoletta Sala, professor at the University of Mendrisio,

University of Italian Switzerland, Lugano, in the article

Mutulae (Latin mutulus) – rectangular projecting shelf under

the corona of a cornice.

Guttae (Latin – drops) – a kind of ornament placed under the

mutulus or on the underside of the cornice.

Orig.: The IFS analysis of a Doric temple clearly shows a self-

affine cascade of ornament that is four levels deep [3, p. 288].

Fasady fraktalne / Fractal facades 99

fasady w miejscu głowicy pojawia się przeskalowany

trójkąt jako zwężony obraz tympanonu.

Nicoletta Sala, profesor Uniwersytetu w Mendrisio, Uni -

versity

of Italian Switzerland, Lugano, w artykule Frac-

tal components in the Gothic and in the Baroque Ar-

chitecture (Fraktalne elementy w architekturze gotyckiej

i ba rokowej) [4] doszukuje się cech samopodobieństwa

w fasadach gotyckich katedr. Jako przykład podaje ka-

tedrę w Reims, wskazując elementy ostrołukowe portali

i zwień czeń otworów okiennych w wyższych partiach

ele wacji. Różne gabaryty elementów według Sali są

wynikiem przekształceń portalu głównego w systemie

IFS. Również we wnętrzu katedry gotyckiej występujące

elementy ostrołukowe mają świadczyć o fraktalnym cha-

rakterze budowli.

Innym przykładem występowania fraktalnych cech

w architekturze gotyku według Nicoletty Sali może być

fasada Ca’ d’Oro

– pałacu w Wenecji, położonego nad

Canal Grande w dzielnicy Canareggio (il. 2). Fasada tej

budowli charakteryzuje się asymetryczną kompozycją.

Ca’ d’Oro – Złoty Dom, nazwa pochodzi od faktu iż pierwotnie

znaczne części elewacji pokryte były złotem.

Fra ctal components in the Gothic and in the Baroque Ar -

chitecture [4] sees self-similarity features in the facades

of Gothic cathedrals. As an example he uses the cathedral

in Reims, indicating the elements with pointed arches

of the portals and window openings in the upper sections

of the facade. Different dimensions of the elements result,

in his opinion, from the transformations of the main portal

in the IFS system. The Gothic cathe dral also has some

elements with pointed arches inside which are supposed

to testify to the fractal nature of the building.

According to Nicoletta Sala the facade of Ca’ d’Oro

– the palace in Venice, located by the Grand Canal in the

district of Canareggio – can be another example of fractal

features in Gothic architecture (Fig. 2). It has a character-

istic asymmetric composition. Its left part has a portico

with two rows of storeys with elements of a loggia above

it, and a blind arcade below the cornice. Most of its right

part is a plain wall. The portico, the loggias, and the ele-

ments of a frieze have arches of different sizes but their

shapes are similar (Fig. 2). Accepting this fact as a self-

Ca’ d’Oro – Golden House; its name derives from the fact that

originally large sections of its facade were gilded.

Il. 2. Elewacje frontowe pałacu Ca’ d’Oro w Wenecji (źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Ca%27_d%27Oro_facciata.jpg;

autor: Didier Descouens [praca własna] [CC BY-SA 4.0])

i kościoła Świętego Krzyża we Florencji (źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Santa_croce_facciata.JPG; autor: Sailko [CC BY 3.0])

Fig. 2. Front facades of Ca’ d’Oro palace in Venice (source: http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Ca%27_d%27Oro_facciata.jpg;

author: Didier Descouens [own work] [CC BY-SA 4.0])

and the Basilica of the Holy Cross in Florence (source: http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Santa_croce_facciata.JPG; autor: Sailko [CC BY 3.0])

Il. 1. Fasada zachodnia Partenonu

ako fraktal generowany

metodą IFS (rys. autora

wykonany na podstawie

rysunków Carla Bovilla [3])

Fig. 1. West facade of

the Parthenon as a fractal

generated by IFS (drawing by

the author on the basis of

Carl Bovill’s drawings [3])

100 Piotr Furmanek

W lewej części występuje portyk, nad którym usytuowane

są dwie kondygnacje z elementami loggii, a poniżej

gzymsu fryz arkadkowy. W prawej części przeważa lita

ściana. Portyk, loggie oraz elementy fryzu zwieńczone są

łukami o różnych gabarytach, ale podobnych kształtach

(il. 2). Uznając ten fakt za cechę samopodobieństwa, Ni-

co letta Sala sformułowała twierdzenie o fraktalnym cha -

rakterze fasady pałacu Ca’ d’Oro.

Wątpliwości może budzić niezgodność kształtów ostro-

łuku portyku i łukowego okrągłego fryzu arkadkowego.

Trudno też stwierdzić zależność liczbową (skalę po do -

bieństwa) między gabarytami elementów o różnych wiel-

kościach.

Jako kolejny przykład elewacji, w której występują

ele menty samopodobne, Nicoletta Sala prezentuje fronton

koś cioła Świętego Krzyża we Florencji (Santa Croce) po-

cho dzącego z przełomu XIV i XV w. (il. 2). Według Sali

samopodobieństwo występuje mię dzy układem trzech

fron tonów usytuowanych nad wejś cio wymi portykami

a układem trzech tympanonów wień czących fasadę.

Fasady fraktalne w budowlach współczesnych

Badania nad fraktalnym charakterem fasad we współ-

czesnej architekturze kontynuuje Carl Bovill. W dziele

za tytułowanym Fractal Geometry in Architecture and

De sign między innymi zajmuje się pojęciem wymiaru

frak tal ne go. W obszernym wprowadzeniu omawia zasady

po mia ru fraktalnego opartego na wymiarze powszechnie

na zy wa nym wymiarem pudełkowym (box counting di-

mension).

Zasada pomiaru pudełkowego polega na pokryciu da -

nego obiektu płaszczyznowego siatką kwadratów

, a na -

stęp nie zliczeniu, w ilu kwadratach pojawia się frag ment

obiektu. Liczba N kwadratów zależy od parametru dłu-

gości boku kwadratu a. Zmniejszanie parametru dłu goś ci

boku powoduje zwiększenie liczby kwadratów, a jed no-

cześnie zwiększenie dokładności pomiaru. Wynik po mia ru

pudełkowego d jest ilorazem logarytmu liczby kwa dra tów

potrzebnych do pokrycia obiektu i logarytmu odwrotnoś-

ci parametru długości boku kwadratu

[1, s. 195]:

d =

Iloraz różnic wartości uzyskanych w dwóch kolejnych

pomiarach stanowi wymiar fraktalny D [1, s. 203], [5,

s. 119–121]:

D =

Topologiczny wymiar obiektów płaszczyznowych

wynosi 2, a obiektów przestrzennych 3. Wymiar frak-

tal ny kwadratu wynosi również 2, a sześcianu analo-

gicznie 3, ale w przypadku fraktali, których struktura

W przypadku obiektu przestrzennego siatką sześcianów – stąd

nazwa box counting dimension.

Dokładniej: 1/a jest współczynnikiem skali podobieństwa wiel-

kości boku kwadratu na danym etapie pomiaru w stosunku do pomiaru

pierwszego – wielkości kwadratu, w którym mieści się cały obiekt.

similarity feature, Nicoletta Sala formulated the claim

that the facade of Ca’ d’Oro palace is fractal in its nature.

Some doubts can arise from the inconsistency of the

shapes of pointed arches in the portico and round arches

of the blind arcade. It is also difficult to establish the

numerical relationship (similarity scale) between the di -

men sions of the elements of various sizes.

As an another example of a facade with self-similiar

elements, Nicoletta Sala presents the front of the Holy

Cross in Florence (Santa Croce) from the turn of the 14

and 15

centuries (Fig. 2). According to Sala self-similar-

ity is present between the layout of three fronts located

above entrance porticos and the layout of three tympa-

nums crowning the facade.

Fractal facades in contemporary structures

Research on the fractal nature of facades in contempo-

rary architecture is continued by Carl Bovill. In his work

titled Fractal Geometry in Architecture and Design he

deals among other things with the notion of fractal dimen-

sion. In a long introduction he describes the principles of

fractal counting based on the dimension which is univer-

sally known as box counting dimension.

The box counting principle consists in covering a given

flat object with a network of squares

and then counting

in how many squares a fragment of an object appears. The

number of squares N depends on the side length para-

meter of the square a. Decreasing the side length para-

meter results in increasing the number of squares and at

the same time increasing the counting precision. The

result of box counting d is the quotient of the logarithm of

the box counting needed to cover an object and the loga-

rithm of the opposite of square side length parameter

[1,

p. 195]:

d =

The quotient of the differences of the values which

result from two successive countings is the fractal dimen-

sion D [1, p. 203], [5, pp. 119–121]:

D =

The topological dimension of flat objects is 2, and of

spatial objects 3. The fractal dimension of the square is

also 2, and of a cube by analogy 3, but in the case of frac-

tals whose structure is complex and self-similar, the frac-

tal dimension is a fractional number.

Carl Bovill studied the facades of buildings designed

by Frank Lloyd Wright: Robie House and Unity Temple.

In the case of Robie House the facade was covered suc-

cessively with four networks, and the results of fractal

counting fell between d = 1.645 and d = 1.441 (Fig. 3). In

In the case of a spatial object with a network of cubes – thus the

name box counting dimension.

To be more precise: 1/a is the size similarity scale rate of the

square side in a given stage of counting in relationship to the first count-

ing – square size where the whole object fits.

log N

log 1/a

log N

– log N

log 1/a

– log 1/a

log N

log 1/a

log N

– log N

log 1/a

– log 1/a

Fasady fraktalne / Fractal facades 101

jest złożo na i samopodobna, wymiar fraktalny jest liczbą

ułamkową.

Carl Bovill poddał badaniom elewacje budynków

zaprojektowanych przez Franka Lloyda Wrighta: Robie

House i Unity Temple. W przypadku Robie House ele-

wacja została pokryta kolejno czterema siatkami, a wyni-

ki pomiaru fraktalnego wahały się pomiędzy d = 1,645

a d = 1,441 (il. 3). W przypadku Unity Temple wymiar

wynosił od d = 1,482 do d = 1,621.

Carl Bovill odżegnuje się jednak od jednoznacz nych

stwierdzeń, zaznaczając, że budynki nie są fraktalami

w taki sam sposób jak konstrukcje matematyczne, takie

jak krzywa van Kocha

. Porównuje proces pomiaru

fraktalnego, w którym dokonuje się kolejnych przybliżeń

z większą dokładnością, do percepcji wizualnej obiektu

architektonicznego: w miarę zbliżania się do budowli

zauważa się coraz więcej szczegółów na elewacji aż do

wejścia do wnętrza, w którym można zauważyć detale

okien czy drzwi. Na poparcie wywodu Bovill dokonuje

pomiaru fraktalnego detalu okna, w którym doszukuje się

Oryg.: Buildings are not fractals in the same way that mathe-

matical constructs such as the Koch curve are fractals [5, s. 117].

the case of Unity Temple the dimension was between d =

1.482 and d = 1.621.

Although Carl Bovill avoids definitive claims, noting

that the buildings are not fractals in the same way as

mathematical structures such as the Koch curve

. He com-

pares the process of fractal counting, with successive,

more and more accurate approximations, to the visual

perception of an architectural object: the closer you get to

a structure, the more and more details you notice on the

facade until you go inside, where you can see details

of windows and doors. In order to prove his point Bo vill

executes the fractal counting of the window detail, where

he claims to see some motifs of the Sierpinski triangle

– one of the most famous fractals. The fractal dimension

in this case was between d = 1.721 and d = 1.626 [5,

pp. 119–126].

In spite of the ambiguity of the claim regarding the

fractal nature of the architecture by Frank Lloyd Wright,

many researchers of fractal components in architecture

followed Bovill, applying the dimensional criterion as

Orig.: Buildings are not fractals in the same way that mathemat-

ical constructs such as the Koch curve are fractals [5, p. 117].

Il. 3. Pomiar fraktalny elewacji

południowej Robie House

(rys. autora wykonany

na podstawie rysunków

Carla Bovilla [5, s. 120, 122])

Fig. 3. Fractal measurement of

south facade of the Robie House

(drawing by the author on the

basis of Carl Bovill’s drawings

[5, p. 120, 122])

102 Piotr Furmanek

motywów trójkąta Sierpińskiego – jednego z najbardziej

znanych fraktali. Wymiar fraktalny w tym wypadku wahał

się od d = 1,721 do d = 1,626 [5, s. 119–126].

Pomimo niejednoznaczności wypowiedzi odnośnie

do fraktalnego charakteru architektury Franka Lloyda

Wrighta w ślad za Bovillem podążyło wielu badaczy kom -

ponentów fraktalnych w architekturze, stosujących kry -

terium wymiaru jako cechy pozwalającej na zaliczenie

da nego obiektu do budynków fraktalnych

Niezależnie od słuszności tez stawianych przez wspo -

mnianych naukowców wątpliwości budzi fakt ana li zo wa-

nia

płaskiego rysunku, który jest zaledwie ortogo nalną pro-

jekcją przestrzeni trzywymiarowej, a także przy jęcia jako

jedynego kryterium wymiaru fraktalnego z po mi nięciem

innych cech charakterystycznych obiektów fra ktalnych.

Kolejnym badaczem fasad fraktalnych jest Charles

Jencks, amerykański architekt i historyk architektury, autor

dzieła zatytułowanego The New Paradigm in Architec ture

z podtytułem The Language of Post-Modern Architec-

ture (Nowy paradygmat architektury – Język architektury

postmodernistycznej) [6]. W rozdziale The New Para-

digm II – Fractal Architecture (Nowy paradygmat II

– Architektura fraktalna) ogłasza narodziny nowego

kierunku architektury, przytaczając przykłady budowli na

poparcie swojej tezy.

Jednym z przykładów jest Federation Square – obiekt

zaprojektowany przez Petera Dawsona i Donalda L. Bate

sa z biura projektowego LAB Architecture Studio. Ele-

wacje budynku Federation Square zaprojektowano z wy-

korzystaniem piaskowca, blachy cynkowej i szkła (il. 4).

Podziały elewacji oparte są na parkietażu nieokreso-

wym Johna Conwaya i Charlesa Radina. Podstawą kon -

strukcji tej teselacji jest przekształcanie trójkąta pro sto-

kątnego układem transformacji aﬁ nicznych w ok reś lonym

porządku.

Jala Makhzoumi, Gloria Pungetti, Gerardo Burkle-Elizondo,

Nicoletta Sala, Ricardo David Valdez-Cepeda.

a feature on the basis of which a given object can be

included in the category of fractal buildings

Regardless of whether the theses put forward by the

above-mentioned scientists are correct or not, some

doubts arise from the fact of analyzing a flat drawing

which is just an orthogonal projection of a three-dimen-

sional space as well as assuming the fractal dimension as

the only criterion, disregarding other features characteris-

tic of fractal objects.

The American architect and historian of architecture,

Charles Jencks, the author of The New Paradigm in

Ar chi tecture subtitled The Language of Post-Modern Ar -

chitecture [6] is another researcher of fractal facades. In

the chapter titled The New Paradigm II – Fractal Ar -

chitec ture he proclaims the birth of a new direction in

architec ture, giving examples of structures to support his

claim.

One of the examples is Federation Square – designed

by Peter Dawson and Donald L. Bates from LAB Ar -

chitecture Studio. The facades of the Federation Square

building were designed with the use of sandstone, zinc

sheet, and glass (Fig. 4).

The divisions of the facade are based on non-periodic

tilings defined by John Conway and Charles Radin. The

structure of that tesselation is based on transforming

a right-angled triangle with affine transformations in a set

sequence.

The transformations of a triangle (translation, symme-

try, rotation) result in a panel composed of five copies of

the triangle. The panel and the triangle remain self-simi lar

(the triangle is a reduced copy of the panel). The transfor-

mation of the panel with a set of the same transformations

gives a megapanel which remains self-similar to both the

pa nel and the triangle (Fig. 4) [7, pp. 44–48]. This way

the fa cade of Federation Square, which demonstrates self-

Jala Makhzoumi, Gloria Pungetti, Gerardo Burkle-Elizondo,

Nicoletta Sala, Ricardo David Valdez-Cepeda.

Il. 4. Budynek Federation Square i schemat teselacji Conwaya/Radina (autor: Bidgee [praca własna], http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Australian_Centre_for_the_Moving_Image.jpg?uselang=pl, [CC BY 3.0], schemat teselacji – rysunek własny autora)

Fig. 4. Federation Square building and Conway/Radin tessellation (author: Bidgee [own work], http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Australian_Centre_for_the_Moving_Image.jpg?uselang=pl, [CC BY 3.0], schema tesselation – drawing by the author)

Fasady fraktalne / Fractal facades 103

Przekształcenia trójkąta (przesunięcie, symetria, ob-

rót) prowadzą do powstania panelu składającego się

z pię ciu kopii trójkąta. Panel i trójkąt pozostają w relacji

samopodobieństwa (trójkąt jest pomniejszoną kopią pa-

nelu). Przekształcanie panelu układem tych samych

przekształceń prowadzi do powstania megapanelu, który

pozostaje w relacji samopodobieństwa zarówno w sto-

sunku do panelu, jak i trójkąta (il. 4) [7, s. 44–48]. W ten

sposób elewacja Federation Square charakteryzuje się

cechą samopodobieństwa pozwalającą zaliczyć ją do fa-

sad o charakterze fraktalnym.

Analiza przedstawionych przykładów pozwala na

wyciągnięcie wniosków, iż we wszystkich przypadkach

fasady są traktowane przez badaczy tematu jako płaskie

rysunki elewacyjne, podczas gdy prawie zawsze fasada

jest w sensie geometrycznym obiektem trójwymiarowym,

reliefem.

Odmienną propozycją potraktowania fasady jako re-

lie fu o cechach fraktalnych może być wykorzystanie po -

wierzchni fraktalnej – jednego z typów obiektów frak-

talnych – jako elementu kształtującego formę elewacji.

Powierzchnie fraktalne

Wyróżnia się dwie podstawowe metody generowania

powierzchni fraktalnych zależne od sposobu teselacji

płaszczyzny:

– diamentowego kwadratu

opartą na teselacji kwa-

dratowej,

– triangulacyjną opartą na teselacji trójkątnej.

Obie metody działają w oparciu o ten sam algorytm

nazywany metodą losowego przemieszczenia punktu

środkowego (ang. random midpoint displacement method)

stosowaną między innymi w symulacji ruchów Browna

[1, s. 453]. Na potrzeby niniejszej pracy wyeliminowano

element losowości w doborze parametru przemieszczenia

punktu środkowego, zatem metodę diamentowego kwa-

dratu z predeﬁ niowanym doborem parametrów translacji

można wyjaśnić w sposób następujący:

Obiektem początkowym jest kwadrat o boku a.

W pierw szym kroku konstrukcji punkt środkowy kwa -

dra tu zostaje przemieszczony na kierunku k pro sto pad-

łym do płaszczyzny kwadratu o parametr D

1,1

= a/8.

Zwrot wektora translacji dodatni. W kroku drugim prze-

Ang. diamond square method – brak ustalonego, formalnego

odpowiednika w języku polskim.

si mi larity features, can be considered to be a fractal

facade.

The analysis of the examples presented above leads to

the conclusion that all of these facades are considered by

the researchers to be flat facade drawings, whereas, geo-

metrically speaking, the facade is almost always a three-

dimensional object – a relief.

The use of a fractal surface – one type of fractal objects

– as an element shaping the facade form can be consid-

ered to be a different approach to the facade – a relief with

fractal features.

Fractal surfaces

There are two basic methods of generating fractal sur-

faces, depending on surface tesselation:

– diamond square based on square tesselation,

– triangulation based on triangular tesselation.

Both methods operate on the basis of the same algo-

rithm called the random midpoint displacement method

used for instance in simulation the Brownian motion [1,

p. 453]. For the purposes of this paper the element of

randomness in the selection of the midpoint displacement

parameter has been excluded, and so the diamond square

method with predefined selection of translation parame-

ters can be explained in the following way:

The initial object is a square with its side a. In the first

step of the construction the midpoint of the square is dis-

placed in the direction k perpendicular to the plane of the

square by parameter D

1,1

a/8. The sense of translation

vector positive. In the second step the midpoints of the

sides of the square are displaced by parameter D

1,2

1,1

/2 =

a/16. The sense of translation vector positive.

The displacement of the above-mentioned points gives an

object which is a set of four adjacent rhombuses with

sides b

a√5/4.

In the second step the procedure is repeated for the

rhombuses created in the first step. The midpoints of the

rhombuses are displaced in the direction k set in the first

step by parameter D

2,1

1,1

–

1,1

/8. The sense of trans-

lation vector negative. The midpoints of the sides of the

rhombuses are displaced in the direction k by parameter

2,2

2,1

/2. The sense of translation vector negative. In

the next steps the procedure is repeated for next rhom-

buses, the midpoint displacement parameters are reduced

in compliance with the decreasing constant amplitude

A =

1,1

= a/8, displacement direction k constant, the sen ses

of translation vector alternate for the successive construc-

Il. 5. Kolejne kroki konstrukcji powierzchni fraktalnej generowanej metodą diamentowego kwadratu

z predefiniowanym doborem parametrów przesunięcia punktu środkowego (źródło: rysunek własny autora)

Fig. 5. Next steps in the construction of the fractal surface generated with the diamond square method

with predefined selection of parameters of the midpoint displacement (source: drawing by the author)

104 Piotr Furmanek

mieszczeniu zostają poddane punkty środkowe boków

kwa dratu o parametr D

1,2

1,1

2 =

a/16. Zwrot wektora

translacji dodatni. W wyniku przemieszczenia wyżej

wy mienionych punktów powstaje obiekt będący ukła-

dem czterech przystających rombów o bokach b

a√5/4.

W kroku drugim procedura zostaje powtórzona dla

uzyskanych w kroku pierwszym rombów. Środkowe rom -

bów zostają przemieszczone na ustalonym w kroku pierw -

szym kierunku k o parametr

2,1

= D

1,1

– D

1,1

/8.

Zwrot wek -

tora translacji ujemny. Środkowe boków rombów zostają

prze mieszczone na kierunku k o pa ra metr

2,2

= D

2,1

/2.

Zwrot

wektora translacji ujemny. W na stęp nych krokach

procedura jest powtarzana dla ko lej nych rom bów, pa-

rametry przemieszczenia punktu środ kowe go redukowane

są zgodnie ze zmniejszającą się stałą am plitu dą wy no-

szącą A = D

1,1

= a/8, kierunek k prze miesz czenia stały,

zwroty wektora translacji prze mien ne dla kolej nych

wy stępujących po sobie kroków kon strukcji. Parame-

try przemieszenia środkowych bo ków zredukowane są

w stosunku do parametrów prze mieszczenia punktów

środ kowych o współczynnik redukcji r = 1/2. Kierunek

i zwrot jak dla punktów środ kowych (il. 5).

Powtórzenie procedury prowadzi do wykształcenia

po wierzchni wielościennej, która dąży do powierzchni

gład kiej. Pod względem cech fraktalnych można stwier-

dzić, że zgodnie z etymologią pojęcia fractal uzyskany

obiekt w pierwszych krokach konstrukcji charakteryzuje

się pofałdowaną, można powiedzieć „połamaną” – frak -

talną strukturą (il. 6). Predeﬁ niowany dobór parametrów

prze mieszczenia punktu środkowego i rekurencyjne sto-

so wanie algorytmu zapewnia cechę samopodobieństwa –

najbardziej charakterystyczną cechę obiektów fraktalnych.

Podsumowanie: powierzchnia fraktalna

jako element fasady budynku

Uzyskana powierzchnia może być alternatywnym spo -

sobem kształtowania fasad o charakterze fraktalnym. Na

ilustracji 7 przedstawiono teoretyczny przykład wy ko-

rzystania powierzchni fraktalnej (czwarty krok konstruk -

cji) jako elementu przeszklenia fasady budynku w zabu do-

wie uzu pełniającej na terenie obszaru zurbanizowanego.

Wy ko rzystanie powierzchni o predeﬁ niowanych para-

tion steps. The side midpoint displacement parameters

are reduced in relationship to the midpoint displacement

parameters by reduction rate r

1/2. The direction and the

sense the same as for midpoints (Fig. 5).

The repetition of the procedure finally creates a poly-

hedral surface which tends to a smooth surface. As re gards

the fractal features it can be claimed that in comp liance

with the etymology of the word fractal the object created

in the first steps of the construction has an undulating or

simply “fractured” structure (Fig. 6). The predefined se -

lec tion of the midpoint displacement parameters and the

re current application of the algorithm provides for self-si-

mi larity – the most characteristic feature of fractal objects.

Summary: fractal surface

as an element of a building facade

The created surface can be an alternative method of

development of fractal facades. The Figure 7 presents

a theo retical example of the use of fractal surface (step

four of the construction) as an element of the facade

building glazing for auxiliary buildings in an urban area.

The use of the surface with predefined midpoint displace-

ment parameters provides for self-similarity of the struc-

ture, resulting from the recurrent generation method.

Il. 6. Czwarty krok konstrukcji powierzchni fraktalnej generowanej

metodą diamentowego kwadratu (źródło: rysunek własny autora)

Fig. 6. Step four in the construction of the fractal surface generated

with the diamond square method (source: drawing by the author)

Il. 7. Teoretyczny przykład wykorzystania powierzchni fraktalnej

jako elementu fasady budynku (źródło: rysunek własny autora)

Fig. 7. Theoretical example of the application of the fractal surface

as an element of a building facade (source: drawing by the author)

Fasady fraktalne / Fractal facades 105

met rach przemieszczenia punktu środkowego zapewnia

samopodobieństwo struktury wynikające z rekurencyjnej

metody generowania. Cecha ta specyﬁ czna dla kla sycz-

nych obiektów fraktalnych nadaje wprawdzie ele wa-

cji statyczny czy wręcz schematyczny charakter, jed-

nocześnie jednak pozwala na uniﬁ kację technologiczną

węzłów i elementów siatki konstrukcyjnej.

Although this feature, which is unique to classic fractal

objects, renders static or even schematic elevation, at the

same time it unifies technologically the nodes and ele-

ments of the construction network.

Translated by

Tadeusz Szałamacha

Streszczenie

Wśród wielu zagadnień dotyczących związków geometrii fraktalnej z architekturą istotne miejsce zajmują prace dotyczące fasad o cechach

fraktalnych. Naukowcy, poszukując adekwatnych przykładów, sięgają zarówno do fasad budowli historycznych, próbując znaleźć w nich

elementy samopodobieństwa, jak i poddają badaniom elewacje obiektów współczesnej architektury, mierząc ich wymiar fraktalny. W większości

przykładów charakter fraktalny wydaje się przypadkowy i nieświadomy. Artykuł zawiera propozycję wykorzystania powierzchni fraktalnych o ściśle

matematycznych algorytmach generowania jako elementu budującego formę fasady traktowanej jako relief.

Słowa kluczowe: fraktal, powierzchnia, fasada

Abstract

Among many issues regarding connections between fractal geometry and architecture a signiﬁ cant role is played by research on facades with fractal

features. In their search for adequate examples scientists draw from the facades of historical structures, trying to ﬁ nd self-similar elements, and

from studying the facades of contemporary buildings, measuring their fractal dimension. Most examples seem to demonstrate their fractal features

randomly and unintentionally. The paper presents a proposal of the use of fractal surface with strictly mathematical algorithms generated as an

element developing the form of the facade considered to be a relief.

Key words: fractal, surface, facade

Bibliografia /References

[1] Peitgen H., Jurgens H., Saupe D., Fractals and Chaos, New Frontiers

of science, 2

ed., Springer, New York 2004.

[2] Mandelbrot B., The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and

Company, New York 1977.

[3] Bovill C., The Doric Temple as a Fractal, „Nexus Network Journal”

2008, Vol. 10, No. 2, 283–290.

[4] Sala N., Fractal components in the Gothic and in the Baroque Ar chi -

tecture, [w:] Proceeding of 8

Generative Art Conference,

12/2005,

http://www.generativeart.com/on/cic/papers2005/27.nicoletta

sala2005.htm [accessed: November 2014].

[5] Bovill C., Fractal Geometry in Architecture and Design, Birkhauser,

Boston 1996.

[6] Jencks Ch., The New Paradigm in Architecture, The Language of

Post Modernism, Yale University Press, New Haven–London 2002.

[7] Hammer J., From Fractal Geometry to Fractured Architecture: The

Federation Square of Melbourne, „The Mathematical Intelligencer”

2006, Vol. 28, Iss. 4, 44–48.

Kamienne trolle, Finnmark

(fot. E. Cisek)

Stone trolls, Finnmark

(photo by E. Cisek)

Piotr Furmanek

doi:10.5277/arc150108

Abstract